中考专题复习之相似三角形(二).doc

中考专题复习之相似三角形（二） 知识考点： 本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题： 【例1】如图，在△ABC中，AB＝14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长。 分析：由AB＝14cm，CD＝12cm得＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有可求得，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。 答案：△ADE的面积为cm2，周长为15 cm。 【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若，，求 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得。 解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P ∵，∴AP＝1 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即 ∴BC＝6，故＝9 变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，求菱形AMNP的周长。 答案：35 cm 变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。 答案： cm， cm 【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积、、，分别为4、9、49，求△ABC的面积。 解：设MP＝，RT＝，PN＝，由于、、都相似于△ABC，设△ABC的面积为，AB＝，则有，，，三式相加得： ∴，故 探索与创新： 【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝∶。 （1）计算PM、PN的长； （2）当∶＝∶时，PM与PN有怎样的关系？ （3）在什么条件下才能得到MN＝。 略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC ∴， 又∵AM∶MB＝∶，∴BM∶AB＝∶ ∴AM∶AB＝∶ ∴， （2）∵， ∴当，即∶＝∶时，才有PM＝PN； （3）∵MN＝PM＋PN＝，由可得： 从而或 故当，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝或且MN为梯形（或平行四边形）的中位线时，MN＝。 【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为、，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。 解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝，△OAD的面积为，梯形ABCD的面积为， ∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD ∴，即 整理得………① 同理△OBC∽△OAD，， 整理得………②，由①②消去得： 即，∵，∴，即EF＝ 跟踪训练： 一、填空题： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，∶＝ ，∶＝ 。 2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。 3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是∶，这两个三角形的面积分别是 。 4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则∶＝ 。 二、选择题： 1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ） A、1∶2 B、1∶4 C、4∶9 D、2∶3 2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，∶＝4∶9，则AE∶EC为（ ） A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4 3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（ ） A、1 B、 C、2 D、 三、解答题： 1、如图已知，