中考复习系列之距离最短或最大问题.doc

中考复习系列之距离最短或最大问题 归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 （1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例1、几何模型： 条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．求的最小值. （2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值. （3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值． 例2. 如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。 注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点” （2）归于“三角形两边之差小于第三边” 例1、几何模型： 条件：如下图，、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最大． 方法：作过点与点B的直线，直线AB与交于点，则的值最大（不必证明）． 若、是直线异旁的两个定点．则先做对称点，再连接对称点与A（或B）。 例2.抛物线交轴于A，B两点，交轴于点已知抛物线的对称轴为.求（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 综合应用： 1.求代数式（0≤x≤4）时，求正方形的边长. 3.已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到. (1)试直接写出点的坐标； (2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在该抛物线上移动，过点作轴于点，连结. ①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大. ； (2) ① ∵，，∴. ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为 又抛物线经过点与点 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. ∵点在抛物线上， ∴设点. 1)若∽，则， ，解得：(舍去)或， ∴点 2)若∽，则， ，解得：(舍去)或， ∴点. ②存在点，使得的值最大. 抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.∵点、点关于直线对称， ∴ 要使得的值最大，即是使得的值最大， 根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大. 设过、两点的直线解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为. 当时，. ∴存在一点使得最大 2. 解：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝. 在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝. 解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为. 1 5 A C B P Q A B C E A D B C N M A O x D B C M y E P T Q F E A D B C N M