哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题及答案.doc

高等数学期末考试试题（4） 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量、满足，，，则 ． 2、设，则 ． 3、曲面在点处的切平面方程为 　　 ． 4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数 在处收敛于 ，在处收敛于 ． 5、设为连接与两点的直线段，则 ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 求曲线在点处的切线及法平面方程． 求由曲面及所围成的立体体积． 判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 设，其中具有二阶连续偏导数，求． 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． （本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． （本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数． （本题满分10分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． （本题满分6分） 设为连续函数，，，其中是由曲面与所围成的闭区域，求 ． 2012高等数学期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 填空题【每小题4分，共20分】 1、； 2、；3、； 4、3，0； 5、. 试解下列各题【每小题7分，共35分】 1、解：方程两边对求导，得， 从而，…………..【4】 该曲线在处的切向量为…………..【5】 故所求的切线方程为………………..【6】 法平面方程为 即 ……..【7】 ２、解：，该立体在面上的投影区域为．…..【2】 故所求的体积为……..【7】 ３、解：由，知级数发散…………………【3】 又,.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：， …………………………………【3】 【7】 ５、解：的方程为，在面上的投影区域为． 又，…..………【３】 故..【7】 三、【9分】解：设为该椭圆上的任一点，则点到原点的距离为……【1】 令， 则由，解得，．于是得到两个可能极值点 …………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得． 故 ……【9】 四、【10分】 解：记与直线段所围成的闭区域为，则由格林公式，得 ．………………【5】 而…………【8】 ………………………【10】 五、【10分】解：，收敛区间为 …………【2】 又当时，级数成为，发散；当时，级数成为，收敛．……【4】 故该幂级数的收敛域为………【5】 令（），则 , () ……【8】 于是，（）………………….【10】 六、【10分】解：取为的下侧，记与所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有………….… 【5】 …………………….…【7】 而….… 【9】 …………………….… 【10】 七、【6分】解：….… 【2】 ….… 【4】 故 【6】 第 1 页 共 2 页