竞赛班多元微积分专题.doc

一、多元微积分专题(数一)考试内容 （一）特殊曲面 1.平面的方程为， 抛物面方程为 2. 球面方程为,椭球面方程为 3.锥面方程为其中锥面的半顶角为 4. 对，绕轴旋转生成的旋转曲面方程为 5.空间曲线关于面的投影柱面方程为(消) （二）切向量与法向量 1.空间曲线过相应于点处的切向量为， 切线方程为， 有向曲线元，是与同向的单位向量， 为弧长元素 2. 过其上点处的切向量为 3.曲面过其上点处的法向量为， 切平面方程为， 4.曲面过相应于点处的法向量为 有向曲面元，是与同侧的单位向量，曲面（面积）元素 （三）曲线与曲面积分的计算法则 1、记忆以下第一类曲线积分对称奇偶性性质： （1）当积分曲线段对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有 上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性 （3）当积分曲线段关于原点对称时，若，则有 （4）若将互换，积分曲线段不变，（ 关于对称） 则（轮换性） 2、记忆以下第一类曲面积分对称奇偶性性质： （1）当积分曲面对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有 上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性 （2）若将互换，积分曲面不变， 则（轮换性） 3、曲线与曲面积分的计算 4、二元函数的等价命题 设在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则在内以下结论等价： （1）；（2）对任一分段光滑有向闭曲线,有； （3）与路径无关，仅与起点、终点有关，且有 （4）为某二元函数的全微分，且有 （5）向量为某二元函数的梯度 5、二元函数的公式 二、典型例题 题型一 切向量与法向量的计算 例1、求曲线过点的切线方程，并判断其与的位置关系． 解: 曲线在的切向量　 则其切线方程为，而已知平面的法向量 则又不在平面上，故所求切线方程与平面平行． 例2、椭球面与锥面的交线上点处的切线方程为. 例3、在第一卦限内求曲面上一点，使过该点的切平面垂直于，且与三个坐标面所围立体的体积为. 解: 切平面的法向量为，为所求点 得 切平面方程为 切平面在三坐标轴上的截距为： 切平面与三坐标面所围立体的体积 解，得第一卦限中曲面上的点为和. 例4、求函数在点处沿的方向导数，其中为过处的内法向量. 解： 令 ,则可取, 故 . 例5、 证明曲面的切平面通过一定点. 证明： 其切平面方程为 即 显然, 当时,上式恒成立,故所证命题成立. 题型二 曲线积分的计算 例1、设为椭圆，其周长记为，则. 例2、，其中为直线段，其中 解：的方程为： ，则原式= 例3、为与的交线，则 . 原式. 例4、设是单位圆的逆时针边界曲线，则. 例5、下列解法正确吗？（错） 若取正向，则 例6、设曲线积分与路径无关，其中具有连续偏导数，且 则. 解：由知由、 得 再由条件积分与路径无关, 取积分路线,则得原式. (或取折线,或) 例7、设在内具有一阶连续偏导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，起点为 终点为 记 （1）证明曲线积分与路径无关；（2）当时，求的值. 解：（1）记，，则 ， 于是满足：在时，且 所以曲线积分与路径无关 （2）由于曲线积分与路径无关，取为从到的折线段，于是 例8、试问是否为某个二元函数的全微分？若是，求 解： 设因为 所以在直线以外的区域内，原式是某个函数的全微分. 取为起点，以折线为积分路径，其中于是 例9、求曲线积分，其中圆周，的方向为逆时针方向. 提示：由于时，被积函数无意义，故所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：，， 使全部被所包围，在和为边界的区域内，则有 原式 例10、设连续，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上， 恒为常数,(1)对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有； (2)求函数的表达式. l2 C o X l3 证明：(1)如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接， 则. 解：(2) 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数， 由(1)知， 在该区域内与路径无关，故当时，总有. 由 得