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第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 结合P74曲顶柱体的体积理解二重积分的定义。 利用二重积分的定义求极限：此类极限、、都可以考虑用定积分的定义来求出。考虑二元函数在矩形区域上的二重积分，下面给出的推导过程： 当积分区域是一个矩形时，即时，在二重积分的定义中，把区域平均分成个小区域——把线段平均分成份，则每份长为，则每个小区域（这里的每个小区域同样是矩形）的面积可以表示为，如果我们在每个小区域上选择的点统一选取为每个小矩形的右上顶点——当然也可以选取左上顶点，右下、左下顶点都可以，也可以选取——那么二元函数在该区域上的二重积分可以表示为：特别的，当积分区域时，由以上分析可以得出： 习题9—1，第2、4题。 第二节 二重积分的计算 利用直角坐标系计算二重积分我不多说了，书上讲的很清楚，例1、2、3要掌握，例4能看懂最好，看不到不要勉强。例4中有个卦限，卦限是对空间直角坐标系而言的，共有8个卦限，这和平面直角坐标系中的象限是类似的。 关于极坐标： 极坐标系是一种平面坐标系，平面直角坐标系也是一种常用的平面坐标系。 （1）极坐标的组成要素：①极点，②正方向 点就是极点，射线方向就是正方向。 点在极坐标中的坐标是有一个二维数据表示的或者，表示的意义如下图所示：注意，这里的角是一个矢量，是有方向的，这里我没有画出这个角度的方向，你自己在打印的资料上补上箭头。 （2）同一个点在平面直角坐标系下的坐标，与在极坐标系下的坐标之间的关系（为了简化分析，一般把极坐标的极点选取为平面直角坐标系的原点，把极坐标的正方向选取为平面直角坐标系轴正半轴的方向）在平面直角坐标系下点的坐标为，在极坐标系下点的坐标为，且之间的关系为： （3）特殊曲线在直角坐标系下的表示方法，与在极坐标下的表示方法。 图形 直角坐标系下的表示 极坐标系下的表示 圆点和直角坐标系原点重合的圆 上面那种圆在第一象限的部分 上面的那种圆在轴右半部分 圆点在轴上且图象过原点的圆 斜率为-1且在轴上的截距为正数的直线 注意，以上所说的“在直角坐标系下的表示”与“在极坐标下的表示”的标准格式为（以第一个图像为例）：，。如我们表示圆点在原点，半径为的圆的区域，且包含边界点时，该区域的表示方法为：，不包含边界点时：，只包含边界点时，即只表示该圆的曲线为：。 利用极坐标计算二重积分时，首先把写成，如果积分区域在题目中用直角坐标表示的，那么再把的直角坐标表示方法化为极坐标的表示方法（第2点中的那张表）。有些积分区域在题目中就是用极坐标表示的（这种情况下，积分区域一般无法在直角坐标系下表示）。结合例5、6掌握这种方法。 二重积分的换元法不考。 习题9—2第1—18题。P123总习题九第1（2）、2、3、4、5 补充——用定积分计算旋转体的体积函数的图像，与直线、及轴围成的平面（第三个坐标中的），绕轴旋转所得的旋转体的体积为，绕轴旋转所得的旋转体的体积为，这两个公式都是由教材上册P275的“平行截面面积为已知的立体体积”推导出来的。 “平行截面面积为已知的立体体积”（上册P275）要掌握，在用直角坐标系计算二重积分时就用到这种方法。 注意以下三种平面绕轴旋转的体积仍然为。但是这三种平面绕轴旋转的旋转体的体积的公式不再是，这种旋转体的体积的公式不要求掌握。 - 6 - 1 1 0 x O r P x O a b a b a b D D D1 D2 a b D a b D a b D1 D2