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第十九章 曲线积分与曲面积分 定积分与重积分是讨论定义在直线段、平面图形或空间区域上函数的积分问题.本章则研究定义在曲线段或曲面块上函数的积分. 第一节 第一型曲线积分与第一型曲面积分 一、第一型曲线积分与第一型曲面积分的概念 设某物体的密度函数是定义在上的连续函数，当物体是直线段时，应用定积分就能计算得的质量。当物体是一个平面图形或空间的一个立体时，应用二重积分或三重积分就能计算得它的质量。 现在研究物体是一个曲面段（平面的或空间的）或是一个曲面块时的质量的计算。首先对作分割，它把分成个小曲线段或小曲面（=1,2，…，），并在每一个上任取一点。由于为上连续函数，故当都很小时，每一小段或小块的质量可近似地等于。于是在整个上的质量就近似的等于和式 当对的分割越来越细密（即=）时，上述和式的极限就是所求物体的质量。 由上面看到，求具有某种物质的曲线段或曲面块的质量，与求直线段或平面块的质量一样，也是通过“分割、近似求和、去极限”来得到的。 下面给出这类积分的定义. 定义19-1 设是平面或空间的一个可度量的几何体.为定义在上的函数。对作分割，它把分成个可度量的小几何体（=1,2，…，），称=为分割的细度，且在上任取一点（=1,2，…，）。若有极限 ， 且的值与分割及介点的取法无关，则称在上可积，极限为在上的积分，记作 . （1） 若为平面曲线或空间曲线，则称(1)为在上的第一型曲线积分，特别记作 或 , (2) 这里为曲线的弧微分。 若为空间曲面块，则称(1)为在上的第一型曲面面积分，特别记作 (3) 不难看到，当是直线段时，（1）式就是定积分；当为平面区域时，（1）式就是二重积分；当是三维空间区域时，（1）式就是三重积分。 当前面讲到的物体为曲线段（曲面块）时，其质量可由第一型曲线积分（2）（第一型曲面积分（3））求得。 第一型曲线积分与第一型曲面积分也有和定积分类似的性质。可以证明：若为可度量几何体上的连续函数，则为上的可积函数。此外，还有下述一些重要性质，其中都是相应空间中可度量的几何体，是上的可积函数。 若(=,,…,)在上可积，(=,,…,)为常数，则在上可积，且 = 设可被划分成有限个相连接的可度量小段（块）（=1,2，…，）。若在上可积，则也在（=1,2，…，）上可积，且 = （4） 反之，若在（=1,2，…，）上都可积，则在上也可积，且成立（4）式。 3.若，在上可积，且，则 4.若在上可积，则也在上可积，且 若在上可积，则存在常数，使得 = 二 、第一型曲线积分与第一型曲面积分的计算 第一型曲线积分与第一型曲面积分可分别将它们化为定积分与二重积分来计算。 定理19-1 设有光滑曲线 : 函数为定义在上的连续函数，则 = 证明 显然是可求长的，且在上由到的弧长 ，，，，. 由的连续性与积分中值定理，有 () . 所以 这里， ，设 则有 （6） 令 现在证明 因为复合函数关于连续，所以在闭区间上有界，即存在，对一切有 再由在上连续，所以它在上一致连续。即当任给，必存在，当时有 从而 所以 再从定积分定义得 所以当（6）式两边取极限后，即得所要证的（5）式。 若曲线由方程