高数试题答案.doc

安徽大学2008--209高等数学A(二)试卷 一、填空题(2×5=10分) 1. 过点(1,2,3) 且与直线平行的直线方程为. 2. 设,则2. 3. 累次积分交换积分次序后为. 4. 已知曲线(常数), 则. 5. 已知是周期为的周期函数, 在上的解析式为 ,则的傅立叶级数在处收敛于-. 二、选择题(2×5=10分) 6. 设、、是非齐次线性方程的三个线性无关的解, 是任意常数, 则该非齐次线性方程的通解可表示为( D ). A. B. C. D. 7. 已知二元函数 , 则在(0,0)处 ( C ). A. 连续, 一阶偏导数不存在 B. 不连续, 一阶偏导数不存在 C. 不连续, 一阶偏导数存在 D. 连续, 一阶偏导数存在 8. 曲线在点 (16,4,8) 处的法平面方程是( B ) . A. B. C. D. 9. 常数, 则第一型曲面积分的值为 ( A ). A. B. C. D. 10. 下列级数中, 绝对收敛的是 ( D ). A. B. C. D. 三、计算题(8×8=64分) 11. 已知直线, 平面, 求直线与平面∑的夹角. 解：设直线的方向向量为:则平面的法向量 , 故直线与平面的夹角为 (或) 12. 设 , 求 解：, 故 13. 求微分方程的通解. 解：齐次方程对应的特征方程为： 则 . 因此齐次方程对应的通解为： . 令非齐次方程的特解为：, 代入原式得：,故 因此非齐次方程的通解为： 14. 计算二重积分中, 其中D是由直线x=0、y=1及y=x所围成的区域. 解： 15. 计算三重积分 , 其中常数R0. 解: = 提示：本题可以化为： 16. 计算第二型曲线积分, 其中C为上半圆周 , 方向为从A(a,0) 到O(0,0), 常数a0. 解:设 C为上半圆周，方向为逆时针。添加有向线段，则C与构成一个平面区域 D.在D上应用Green公式： 17.设抛物面方向取其上侧,计算 . 解：补充平面取下侧，则与围成空间区域,于是 　　 18. 将展开为(x+2) 的幂级数, 并求该幂级数的收敛域. 解: 解出得收敛域为: 四、应用题(8分) 19. 在椭圆上求一点, 使该点到直线2x+3y-12=0的距离最短. 解：设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为: 令，于是由： 得条件驻点： 因此为到直线距离最小值点. 提示，本题可以直接在椭圆上求一点的切线平行于直线。对椭圆两边关于x求导得： 令 因此为到直线距离最小值点. 五、证明题(8分) 20. 设数列单调减小, 且, 又级数发散. 证明: 级数收敛. 证明：因为单调减小，且，即单调减小有下界，故收敛。设，又因为发散，所以（否则交错级数收敛）。于是对于任意的有，而等比级数收敛。由比较判别法知级数收敛 安徽大学2009--2010高等数学A(二)试题与答案 一、填空题(2×5=10分) 点(2,1,1) 到平面的距离为. 极限0. 交换积分次序. 设是周期为2的函数, 它在区间(-1,1] 上的定义为则的Fourier级数在x=1处收敛于. 函数u=xyz在点(1,1,1) 处沿方向(2,2,1) 的方向导数为. 二、选择题(2×5=10分) 6. 二元函数在点(0,0) 处 ( A ) A. 连续, 但偏导数不存在; B. 不连续; 且偏导数不存在; C. 不连续; 但偏导数存在; D. 连续, 且偏导数存在. 7. 设第二类曲面积分,其中S为的上半部分, 方向取上侧, 若S为S在第一卦限部分, 且与S方向一致, 则 ( A ) A. ; B. ; C. D. 8. 设为R中开区域，且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于的曲面，函数P,Q,R在内连续可导，若曲线积分只依赖于曲线L的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是 （ D ） A. 对内任意光滑闭曲线C，曲线积分； B. 存在上某个三元函数u(x,y,z), 使得; C. 等式在开区域内恒成立; D