一元函数插值-Read.doc

一元函数插值 目标： 对比插值和数据拟合的思想 一元函数插值（线性插值和抛物线插值）及程序实现 基本理论 插值：采集到的数据可以看作是精确数据，要求函数或曲线通过这些数据点。 常用插值方法：一元函数插值（自变量只有一个）和二元函数插值。重点前者 一元函数插值主要掌握：线性（直线）插值和抛物线插值。 共同点：找数据分布规律。 不同点：插值适合于试验数据为精确数据，插值函数曲线通过插值点； 数据拟合适合于试验数据有一定程度的误差，拟合曲线不一定通过试验数据点。 1 线性插值 通过两结点的直线方程来代替原来的函数。设插值点为，具体插值步骤为：（注意：插值点中，为已知数，为待求量） 选取两个相邻的自变量与，且（即查找所在的区间，同时考虑实现时查找算法）； 用过点和点的直线代替原来的函数，则有： （1） 或 （2） 式（2）即为对应于插值点处的函数值。 注意： 线性插值函数只用到两个数据点，而且这两个试验数据点根据插值点的值不同而动态变化，其他的试验数据点用来观察试验数据总体分布规律； 当试验数据自变量间隔较小，插值精度要求不高时，线性插值可以满足要求。 2 抛物线插值 用通过3个结点的抛物线方程来代替原来的函数。设插值点为，则有 （3） 在抛物线插值过程中，关键是要在插值点附近选取合适的3个点。根据插值点的位置，分四种情况：（演示） 若，即插值点位于第1点和第2点之间，应选择、、3点，式（3）中的； 若，即插值点位于倒数第1点和第2点之间，应选择倒数3个点、和，式（3）中的； 当插值点位于第2点和倒数第2点之间时，即（），又分两种情况： 第1种：，即靠近左端点，应选择左端点的左端点、左端点、右端点3个点； 第2种：，即靠近右端点，应选择左端点、右端点、右端点的右端点3个点。 插值的主要步骤： 根据试验数据折线图确定插值多项式形式；（注意：构造插值多项式的方法很多，具体可参阅计算方法、数值分析等书，课堂上的方法为Lagrange插值法。） 确定插值基函数；（抛物线插值基函数为式（2）） 根据插值点的x坐标确定构成插值多项式的点；（抛物线插值为3个点） 绘制插值函数曲线；（参照拟合曲线绘制思想） 构造具体的插值多项式并计算插值点的y函数值；（式（3）；实现：二重循环） 输出y值。 程序实现 实现思路：MATLAB没有专门针对Lagrange插值的插值函数，所以编程时基本思路为从底层根据插值原理选取结点，构造插值函数，求插值点的值。开发环境选用矢量图形环境。（MATLAB中的插值函数为其它插值方法） 式（3）的理解： 将记为第一点；将记为第二点；将记为第三点，于是式（3）可表示为： （1） 其中 （2） （2）称为插值基函数。 （3） 通过二重循环实现。 2 编程实现 见程序。