实数集R 的不同拓扑结构和拓扑性质何刚.pdfVIP

第22卷 第 2期 云南农业大学学报 Vo1．22 No．2 2007年 4月 JournalofYunnanAgriculturalUniversity Apr．2007 实数集 R的不同拓扑结构和拓扑性质 何 刚 (遵义师范学院数学系，贵州遵义563002) 摘要：针对实数空间R中不同的拓扑结构，讨论实数空间R若干拓扑结构之间的关系，并讨论在不同的拓扑结 构中，聚点、极限点等有关性质。 关键词：拓扑；实数空间；聚点 ；极限点 中图分类号：O152．4 文献标识码：A 文章编号：1004—390X(2007)02—0290—03 TheDifferentTopologicalStructuresandTopological PropertyInRealNumberSet HEGang (MathDepartment，ZunyiNormalCollege，Zunyi563002，China) Abstract：Through comparing the differenttopologicalstructuresin realnumberspace theauthor， findssomerelativesamongmanytopologicalsturcturesinrealnumberspaceanddrawsrelatedproper- tiesofaccumulationpointandlimitpointindifferenttopologicalsturctures． Keywords：topology；realnumberspace；accumulationpoint；limitspoint 按照M ·克莱茵的说法：一个集合，必须和一 性质。 个捆扎的概念一起才能形成空间。在实数集 尺 在实数集尺中，定义如下拓扑结构： 中，可以定义各种不同的拓扑结构，从而形成不同 (1)平凡拓扑：r：{尺，}； 的拓扑空间。在实数集 中，至少有以下6个拓 (2)离散拓扑：r：2； 扑：(1)平凡拓扑：r：{尺， }；(2)离散拓扑：7-： (3)可数补拓扑： 2；(3)可数补拓扑：r：{I 是尺的可数子集 } r：{I 是 尺的可数子集}u {}； u{}；(4)有限补拓扑：7-，：{J 是 月的有限子 (4)有限补拓扑： 集}U{}；(5)欧氏拓扑：r：{ 是若干开区间 r，：{I 是 尺的有限子集}u{}； 的并集 }；(6)下限拓扑r：r的拓扑基卢：{[n，b) (5)欧氏拓扑： IⅡb，Ⅱ，b∈R}。 r：{是若干开区间的并集 }； 首先讨论上述拓扑结构之间的关系，结构表 (6)下限拓扑r： 明：(1) Cr／CTc7．；(2) c7I厂c7．c c7．。另 的拓扑基 ：{[日，b)1日b，日，b∈R}。 外，在不同的拓扑结构中，会产生不同的拓扑性质， 命题 1：实数空间尺中的拓扑，满足如下关系： 其中，集合的聚点和极限点，也会有差异很大的一 (1)rCr，CrC．r；(2)rC7-，crCrfCr。 些结论。因此，将讨论不同拓扑结构中，实数空间 证明：r，为最小拓扑，r为最大拓扑，故(1)只 尺的一些拓扑性质 。无理数集 尺 作为 尺的拓扑 须证r，cr，任意U∈r，，U是尺的有限子集， 当 子空间。那么，不同的