高二数学__第九讲-空间向量与立体几何.doc

第九讲 空间向量与立体几何 主讲：关键 平行与垂直 1.在三棱锥S-ABC中，AB⊥SC，AC⊥SB 求证：BC⊥SA 证明: ∵AB⊥SC， (1) 同理由AC⊥SB (2) 由(1) (2)可知, 故BC⊥SA 2.（天津卷）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱． （1）证明FO//平面CDE； （2）设，证明EO⊥平面CDF． （Ⅰ）证明：取CD中点G，连结OG. 在矩形ABCD中，，又， 则， EG平面CDE，∴FO∥平面CDE （Ⅱ）证明：∵G是CD中点, O是矩形ABCD对角线的交点. ∴GO⊥CD,EG⊥CD EO⊥CD 又 又FG∩CD=Q ,FG,CDCFD,∴EO⊥平面CFD 二.成角 1.直线与直线的成角(异面直线的成角) 异面直线AB与CD成角θ 2.直线与平面的成角 斜线与平面的成角 线l与平面α所成的角为θ, 其中表示平面的法向量 表示与直线l共线向量 3.（福建卷）如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离。 方法一： （I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 平面 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 方法二： （I）同方法一。 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设平面ACD的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量。 又 点E到平面ACD的距离 4.(山东卷）ABC-A1B1C1的所有棱长都相等， D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 . 解：以AC中点O为原点,OA,OB,OD分别为x,y,z轴,建立空间 直角坐标系, 设正三棱柱的所有棱长为2, ∴A(1,0,0) D(0,0,2) C(-1,0,0) B1(0 , ,2) 设平面B1DC的法向量 取z=1 二、成角 3.二面角 设二面角α-l-β的平面角是θ 则 分别是α,β的法向量. 设A∈α,B∈β,且A,Bl 与同号,则 与异号, 则 5.（北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且 PA=PB，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC⊥PB； （Ⅱ）求证：PB//平面 AEC； （Ⅲ）求二面角 E—AC—B 的大小. 解： 以A为原点,AC,AB,AD所在直线为x,y,z轴,不妨设PA=PB=b,,AC=b ∴B(0,a,0) C(b,0,0) P(0,0,a) D(b,-a,O) E(b/2 ,-a/2,a/2) （Ⅰ）∴ ∴ ∴AC⊥PB. （Ⅱ） 设 则 ∴PB∥平面 AEC. 方法2.设平面EAC的法向量为 则 取z=1 ∴PB∥平面 AEC. （Ⅲ）∵DA⊥平面ABCD 是平面ABCD的法向量 二面角E-AC-B的大小为. 6.（全国卷II）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点． （Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线； （Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小． 解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO(面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分 （Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED(平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角． 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ……