第七章第三讲.ppt.ppt

作业 7.6 7.7 * （一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质 （三）波函数对称性的不随时间变化 （四）Fermi 子和 Bose 子 §6 全同粒子的特性 （1）全同粒子 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。 （2）经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。 可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子 1 2 1 2 （一）全同粒子和全同性原理 （3）微观粒子的不可区分性 微观粒子运动 服从 量子力学 用 波函数描写 在波函数重叠区 粒子是不可区分的 （4）全同性原理 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同性原理是量子力学的基本原理之一。 （1）Hamilton 算符的对称性 N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为： 调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。 即： 表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。 （二）波函数的对称性质 （2）对称和反对称波函数 考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程 将方程中（q i , q j ) 调换，得： 由于 Hamilton 量对于（q i , q j ) 调换 不变 表明： （q i , q j ) 调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。 根据全同性原理： 描写同一状态。 因此，二者相差一常数因子。 再做一次（q i , q j ) 调换 对称波函数 反对称波函数 引入粒子坐标交换算符 全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的； 初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。 证 方法 I 设全同粒子体系波函数 ?s 在 t 时刻是对称的，由体系哈密顿量是对称的，所以 H ?s 在t 时刻也是对称的。 在 t+dt 时刻，波函数变化为 对称 对称 二对称波函数之和仍是对称的 依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。 同理可证：t 时刻是反对称的波函数?a ，在t 以后任何时刻都是反对称的。 （三）波函数对称性的不随时间变化 方法 II 全同粒子体系哈密顿量是对称的 结论： 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。 实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完 全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 凡自旋为 ? 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子 如：? 光子 （s =1）； ? 介子 （s = 0）。 （四）Fermi 子和 Bose 子 （2）Fermi 子 凡自旋为 ? 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。 例如：电子、质子、中子（ s =1/2）等粒子。 （3）由“基本粒子”组成的复杂粒子 如：? 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自 由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类 全同粒子来处理。 偶数个 Fermi 子组成 Bose 子组成 奇数个 Fermi子组成 奇数个 Fermi子组成 （一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理 §7 全同粒子体系波函数 Pauli 原理 （1）对称和反对称波函数的构成 I 2 个全同粒子Hamilton 量 II 单粒子波函数 （一）2 个全同粒子波函数 III 交换简并 粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为： 验证： 粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为： IV 满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系要满足对称性条件，而 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数； 当 i ? j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。 构造具有对称性的波函数 C 为归一化系数 显然 ?S (q1,q2) 和 ?A (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本征值皆为 ： V ?S 和 ?A 的归一化