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《数学建模》精品课程 第九章 概率模型 教学内容 随机性模型 现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型--概率模型。 统计模型 如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型—统计回归模型。 2 传送系统的效率 3 报童的诀窍 4. 随机现象的模拟 一.利用理论分布 2．正态分布 3．指数分布 4．泊松分布和泊松流 第二部分 数据的统计描述和分析 计算机模拟 ０ f(x) x 指数分布常用来描述“寿命”问题. 设电子元件的寿命为T，假定元件在t 时刻 尚正常工作的条件下, 其瞬时失效率总保持 为常数λ, 即有 寿命T则服从参数为λ的指数分布. 　 上述假设从技术上讲就是电子元件未出现 “老化”现象. 对一些寿命长的元件,在稳定运 行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的. ＊指数分布比较确切地描述了电子元件在 稳定阶段的寿命分布情况. 　指数分布具有无后效性(马氏性):对任意的 实数s0，t0，均有 永远年轻性 　 人类在50岁或60岁以前的寿命分布接近指 数分布. 离散型随机变量X的分布律为 称X 服从参数为λ的泊松分布. 事件流：随时间的推移，逐个出现的随机事 件列 A1，A2，…An，… t 0 A1 A2 A3 An 例 在渡口模型中, 从渡船靠岸开始计时, 将第i 辆汽车的到达看成随机事件Ai 发生,随汽 车连续不断地开到码头，就形成了一个事件流 A1，A2，…，Ai，…； *工作台上工件的逐件到达； *机场跑道中飞机的逐架到达； *港口船舶的逐艘到达； *电话交换台电话的到达； *餐厅顾客的到达; *工厂中机器故障的发生,… 记 N(t) 为 [0, t]时间内各事件发生的总次数 N(t)是随机变量 0 t ) N(t)=3 ) N(t)=7 随机变量族 ｛N(t), t＞ 0｝ 是一个随机过程(计数过程). 将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客 及破损的机器等统称为顾客. 称 {N(t), t＞ 0｝为顾客的到达过程. 对每一时刻 t，在[0，t]时间内到达的顾 客数N(t) 的分布； 事件流A1，A2，…，Ai，…中两个事件 发生的间隔时间具有什么分布. 通常关心 重要定理： 1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，则在[0, t ]期间内有n个顾客到达的概率为 并且，顾客相继到达的时间间隔 T1，T2，…，Ti，… 相互独立,都服从参数为λ的指数分布. 2. 若顾客流到达的间隔时间是相互独立的 随机变量序列: T1, T2,…,Ti，…且Ti，i=1,2,… 均服从参数为λ指数分布,则在［0，t］内顾 客到达数｛N(t)，t0｝是一个泊松过程. 例 穿越公路模型（P21） 用均值为1/q 的指数分布随机变量模拟 两车经过同一地点的时间间隔,相当于假设 通过该点的汽车流构成了一个泊松流,[0, t] 时间内到达的汽车数目N(t) 服从泊松分布. 数据的统计描述和分析 统计的基本概念 参数估计 假设检验 数据的统计描述和分析 一、统计量 二、分布函数的近似求法 三、几个在统计中常用的概率分布 -4 -2 0 2 4 6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 1 ． 正态分布 ) , ( 2 s m N 密度函数： 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( s m s p - - = x e x p 分布函数： dy e x F y x 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( s m s p - - ￥ - ò = 其中 m 为均值， 2 s 为方差， +￥ ￥ - x . 标准正态分布： N （0，1） 密度函数 2 2 2 1 ) ( x e x - = p j dy e x y x 2 2 2 1 ) ( - ￥ - ò = F p ， 分布函数 返回 F分布F（10，50）的密度函数曲线 统计工具箱中的基本统计命令 1.数据的