第2章2_5平面波的角谱.ppt

平面波的角谱 * * 一、角谱 设单色光波沿Z方向传播，照射到xy平面上，在xy平面上的光场复振幅分布用 函数表示。 下面讨论的目的是要寻求与xy平面相距为z且与xy平面平行的下一个平面上的光场复振幅分布。 根据频谱分析知： (1) 一个波矢量为 的单位振幅的平面波： (2) 其中 、 和 是 的方向余弦。 引入二维矢量： 则在z=0的平面上 (3) (4) 将（4）式与（1）式相比较，发现只要取： (5) 则（1）式可用矢量 表示为： (6) (1) （6）式表示：z=0平面上的光场，即透过xy平面向+z方向传播的波，可以用不同方向的平面波展开。 (6) （5）式表示复振幅分布的空间频率正比于 ，在 中的低频分量对应于与z轴夹角不大的平面波分量。而高频分量则对应于与z轴夹角较大的平面波分量。这是一个重要的概念。 不同方向的平面波的权函数 称为 的角谱，它和空间频率的实质是相同的。 和 的关系就是傅立叶变换： (7) 二、角谱的传播 现在来进一步寻求 与 的关系。为此，首先求 与 的关系。 首先， 与 的关系为: （8） （9） 以 代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知 也满足亥姆霍兹方程： （10） 式中 （11） （10）式的一个解是： （12） 当 时，光沿+z方向传播的效果，在频域内表现为乘以一个沿z轴的相位延迟因子 在光学信息处理中这一效应等价于空间滤波。 当 时，取正整数 ，则角谱: 表示一个随z的增大迅速衰减的波，称隐失波，它只存在于很接近于xy平面的一个簿层内，这是近场光学要讨论的问题。下面只讨论前一种情况。 (13) 三、菲涅尔衍射 将(12)式中相因子内的根号作泰勒展开： (14) 式中 。在上式中忽略二级以上小量，则 (15) 由于 （富里叶变换） （12） 根据卷积的变换性质，相应的空域信号为 表示z＝0平面上的光场复振幅分布。(16)式正是菲涅耳衍射公式。上述积分在z＝0的平面进行（衍射孔径所在平面）。 式中: (16) 四、夫琅和费衍射 在(16)式中加入更为强烈的近似条件： （17） 则该式化为： （18） 就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况。(18)式还可表为 （19） 上式表示除了与积分变量无关的相位因子A以外， 为 的傅里叶变换，频域宗量为 及 。 （19） 五、角谱的衍射 设在xy平面上有一个不透光的屏，屏上带一个透光的孔，孔的复透过率用光瞳函数p(x，y)来表示。这样一来，屏后面的透射场 可用入射波的场 表为： （20） 在频域中，上式变为： （21） 式中P为p的角谱。（21）式说明透射波的角谱为入射波的角谱与光瞳函数角谱的卷积。引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩。根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽。(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去。 前面(12)式为角谱在自由空间中的传播公式： （12） （22） （12）式或（22）式原则上可以解决任何光波的传播 及衍射问题。 如果考虑到xy平面上光瞳函数的作用，(12)式改写为: 六、角谱应用的一个例子 ——从衍射角度讨论条纹的定域 大家知道，使用扩展光源将得到定域条纹。现在，我们对一个简单的干涉系统用衍射积分计算其干涉场，看一下定域条纹是如何得到的，并通过这个例子使大家了解如何用衍射积分来计算光学系统各部分的光场分布。 如图1所示，是一个变形的马赫—曾德(Mach—Zhender） 干涉仪，可用来记录非相干光全息图。为简便计，只限于讨论一维情况。 设