第4章作业题.doc

4 －10　如图(a)所示，圆盘的质量为m，半径为R．求：(1) 以O为中心，将半径为R／2 的部分挖去，剩余部分对OO 轴的转动惯量；(2) 剩余部分对O′O′轴(即通过圆盘边缘且平行于盘中心轴)的转动惯量． 分析　由于转动惯量的可加性，求解第一问可有两种方法：一是由定义式计算，式中dm 可取半径为r、宽度为dr 窄圆环；二是用补偿法可将剩余部分的转动惯量看成是原大圆盘和挖去的小圆盘对同一轴的转动惯量的差值．至于第二问需用到平行轴定理． 解　挖去后的圆盘如图(b)所示． (1) 解1　由分析知 解2　整个圆盘对OO 轴转动惯量为，挖去的小圆盘对OO 轴转动惯量，由分析知，剩余部分对OO 轴的转动惯量为 (2) 由平行轴定理，剩余部分对O′O′轴的转动惯量为 4 －13 　如图(a) 所示，质量m1 ＝16 kg 的实心圆柱体A，其半径为r ＝15 cmm2 ＝8.0 kg 1.0 s后的距离；(2) 绳的张力FＴ 分析　该系统的运动包含圆柱体的转动和悬挂物的下落运动(平动).两种不同的运动形式应依据不同的动力学方程去求解，但是，两物体的运动由柔绳相联系，它们运动量之间的联系可由角量与线量的关系得到. 解　(1) 分别作两物体的受力分析，如图(b).对实心圆柱体而言，由转动定律得 对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有 且FＴ FＴ′ 解上述方程组，可得物体下落的加速度 在t ＝1.0 s 时，B 下落的距离为 (2) 由式(2)可得绳中的张力为 4 －14　质量为m1 和m2 的两物体A、B 分别悬挂在图(a)所示的组合轮两端.设两轮的半径分别为R 和r，两轮的转动惯量分别为J1 和J2 ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力. 分析　由于组合轮是一整体，它的转动惯量是两轮转动惯量之和，它所受的力矩是两绳索张力矩的矢量和(注意两力矩的方向不同).对平动的物体和转动的组合轮分别列出动力学方程，结合角加速度和线加速度之间的关系即可解得. 解　分别对两物体及组合轮作受力分析，如图(b).根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有 (1) (2) (3) , (4) 由角加速度和线加速度之间的关系，有 (5) (6) 解上述方程组，可得 4 －18 　如图所示，一通风机的转动部分以初角速度ω0 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量.若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：(1) 经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？(2) 在此时间内共转过多少转？ 分析　由于空气的阻力矩与角速度成正比，由转动定律可知，在变力矩作用下，通风机叶片的转动是变角加速转动，因此，在讨论转动的运动学关系时，必须从角加速度和角速度的定义出发，通过积分的方法去解. 解　(1) 通风机叶片所受的阻力矩为M ＝－Cω，由转动定律M ＝Jα，可得叶片的角加速度为 (1) 根据初始条件对式(1)积分，有 由于C 和J 均为常量，得 (2) 当角速度由ω0 → 12 ω0 时，转动所需的时间为 (2) 根据初始条件对式(2)积分，有 即 在时间t 内所转过的圈数为 4 －17　一半径为R、质量为m 的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ.(1) 求圆盘所受的摩擦力矩.(2) 问经多少时间后，圆盘转动才能停止？ 分析　转动圆盘在平板上能逐渐停止下来是由于平板对其摩擦力矩作用的结果.由于圆盘各部分所受的摩擦力的力臂不同，总的摩擦力矩应是各部分摩擦力矩的积分.为此，可考虑将圆盘分割成许多同心圆环，取半径为r、宽为dr 的圆环为面元，环所受摩擦力dFｆ ＝2πrμmgdr/πR2 ，其方向均与环的半径垂直，因此，该圆环的摩擦力矩dM ＝r ×dFｆ ，其方向沿转动轴，则圆盘所受的总摩擦力矩M ＝∫ dM.这样，总的摩擦力矩的计算就可通过积分来完成.由于摩擦力矩是恒力矩，则由角动量定理MΔt ＝Δ(Jω)，可求得圆盘停止前所经历的时间Δt.当然也可由转动定律求解得. 解　(1) 由分析可知，圆盘上半径为r、宽度为dr 的同心圆环所受的摩擦力矩为 式中k 为轴向的单位矢量.圆盘所受的总摩擦力矩大小为 (2) 由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量J ＝mR2/2 .由角