射影定理的推广及应用反复掌握)1.pdfVIP

京翰教育中心 射影定理的推广及应用 射影定理的推广及应用 射射影影定定理理的的推推广广及及应应用用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证 明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般 地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定 理的推广） ，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地 掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地 迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、射影定理 射影定理 射影定理 射射影影定定理理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条 线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜 边的比例中项。 ２ 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD ＝ＢＤ•AD 、 ２ ２ ＢＣ ＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ ＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 ２ ２ １．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ ＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ ２ ＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ ＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△Ａ ＢＣ为直角三角形。 （证明略） ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结 论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２ ２ ＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ ＝Ｂ Ｄ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或 ∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 （证明略） 三、应用 例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、Ｂ Ｅ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２ 京翰教育中心 0 分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=90 -∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可 ２ 得ＢＤ ＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。 （证明略） 例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和 １２两部分，求ＤＣ。 分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有 ２ ＣＤ ＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８ (解略) 例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于 点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， ２ 求证：ＤＦ ＝ＣＦ•ＢＦ。 证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共， AF CF ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ ＝ ， BF AF ２ ２ ∴ＡＦ