射影空间对偶原理的研究.pdfVIP

第 25 卷 第 1 期 昆　明　理 　工 　大 　学 　学 　报 Vol . 25 　No . 1 2000 年 2 月 Journal of Kunming Univer sity of Science and Technology Feb . 2000 射影空间对偶原理的研究 　刘福华 　　　　　　　　　　　　　　　付寒阳 ( ) ( ) 昆明理工大学建筑工程学院 ,云南昆明　650093 　　　　 云南烟草技工学校 ,云南昆明　650200 摘要 :射影空间是对偶结构 ,用齐次射影坐标研究了射影空间的对偶原理 ,从而揭示出射影空间 里互相对偶的点与平面的坐标之间的内在联系. 关键词 :射影的;空间;齐次的;坐标 ;对偶 ( ) 中图分类号 :O 1851 　　文章编号 :1007 - 855X 2000 0 1 - 083 - 03 ( ) 射影空间对偶原理是射影几何的重要原理 ,可叙述为 :对于空间元素 点、直线与平面 的每个射影命 ( ) 题都对应另一个命题 对偶的 ,这个命题是从第一个命题用文字“平面”代替“点”并且用文字“点”代替“平 面”,文字“直线”保持不变而得到的. 如果这两个命题中的一个得到证明 ,那么两个互相对偶的命题都是正 确的. 这就是说 ,在三维射影空间里 ,点与平面对偶 ,直线与直线对偶. 那么 ,互相对偶的点与平面的坐标之 ( ) 间存在什么样的内在联系呢 ? 平面与投影 坐标 平面的迹线的对偶又如何呢 ? 本文从齐次射影坐标的角 度来讨论这些问题. 1 　射影空间里的点与平面的坐标 11 　三维射影空间的射影坐标系 如附图, 三维射影空间的射影坐标系为四面体 X 4 - X 1 X 2 X 3 , X 4 为坐标原点, X 1 , X 2 , X 3 为坐标顶点, E 1 , E2 , E3 为单位点. 12 　射影空间的点坐标 射影空间里一点 M 的齐次射影坐标为 a 1 ∶b1 ∶c1 ∶d 1 , 其中 a 1 , b1 , c1 , d 1 四数 附图　三维射影坐标系 为常数, 则射影空间里各种位置点的坐标分别为 : ( ) 1 坐标顶点的坐标 a1 , b1 , c1 , d 1 四数中有三数为 0 时, 表示各坐标顶点, 即 坐标顶点 X 1 的坐标为 1 ∶0 ∶0 ∶0 ; 坐标顶点 X 2 的坐标为 0 ∶1 ∶0 ∶0 ; 坐标顶点 X 3 的坐标为 0 ∶0 ∶1 ∶0 ; 坐标顶点 X 4 的坐标为 0 ∶0 ∶0 ∶1. ( ) 2 坐标轴上点的坐标 a1 , b1 , c1 , d 1 四数中有二数为 0 时, 表示各坐标轴上的点, 即 坐标轴 X 1 X 2 上点的坐标为 a1 ∶b1 ∶0 ∶0 ; 坐标轴 X 1 X 4 上点的坐标为 a1 ∶0 ∶0 ∶d 1 ; 坐标轴 X 2 X 4 上点的坐标为 0