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第五章 习题课 １　向量内积的定义及运算规律 ２　向量的长度 ３　向量的夹角 ４　正交向量组的性质 ５　正交矩阵与正交变换 ６　方阵的特征值和特征向量 ９　相似矩阵 １０　有关相似矩阵的性质 １１　实对称矩阵的相似矩阵 １２　二次型 １３　二次型的标准形 １４　化二次型为标准形 １５　正定二次型 １６　惯性定理 １７　正定二次型的判定 典　型　例　题 一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知A的特征值，求与A相关  矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 第五章　　测试题 测试题答案 解　第一步　将　表成矩阵形式 证明 　　将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化． 解一　先正交化，再单位化 解二　同时进行正交化与单位化 第三步　将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 第一步　计算　的特征多项式； 第二步　求出特征多项式的全部根，即得　的全部 特征值； 解　第一步　计算　的特征多项式 第三步　求出　的全部特征向量 解 解 解 解　(1)　可对角化的充分条件是　有　个互异的 特征值．下面求出　的所有特征值． 解　第一步　求A的特征值．由 * * 定义 定义 向量的长度具有下列性质： 定义 　　所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 定义 施密特正交化方法 第一步　正交化 第二步　单位化 定义 　　方阵　为正交矩阵的充分必要条件是　的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交． 定义　若　为正交矩阵，则线性变换　　　称为 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 定义 定义 　　矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性． 　　　若　与　相似，则　与　的特征多项式 相同，从而　与　的特征值亦相同． 　　(4)　能对角化的充分必要条件是　有　个线 性无关的特征向量． (5)　有 个互异的特征值，则 与对角阵相似． 定义 二次型与它的矩阵是一一对应的． 定义 定义 注意 一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正 　　交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知　的特征值，求与　 　　相关矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称 　　矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形