离散数学 第五章：二元运算及其性质1.ppt

代数结构是近世代数或抽象代数学研究的中心问题, 是数学中最重要的、基础的分支之一, 是在初等代数学的基础上产生和发展起来的. 它起始于19世纪初, 形成于20世纪30年代. 代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题. 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等, 以及一些其他科学领域, 如计算机科学、编码理论等, 都有重要影响和广泛地应用 小结: + 总结: 设＊是集合S上的一个二元运算。在运算表中判断规律： (1) 交换律——表是否是关于主对角线对称的。 (2) 结合律、消去律——按定义观察，找反例。 (3) 幂等律——主对角线元素是否与行、列元素相等。 (4) 单位元(幺元)——行（列）是否与参与运算的行（列） 相等的。 (5) 零元——行（列）是否始终是一个值。 (6) 逆元——两个元素相交处是否均为单位元。 (7)封闭性—— 运算表中的每个元素都属于集合S. 解: (2) (3) * * 在这期间, 挪威数学家阿贝尔(N · H · Abell)法国数学家伽罗瓦(E · Galois)英国数学家德·摩根(A · De Morgan)和布尔(G · Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B · L · Van DerWaerden)根据德国数学家诺特(A · E · Noether)和奥地利数学家阿廷(E · Artin)的讲稿, 于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟. 第五章 代数系统的一般性质 本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前两章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。 主要内容如下： 5.1二元运算及性质 5.2代数系统及其子代数和积代数 5.3代数系统的同态和同构 5.1 二元运算及其性质? 即:普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个自然数相减可能得负数,而负数不属于N.这时也称集合N对减法运算不封闭. 一、 运算 1.二元运算 定义1: 设S为集合,函数 称为S上的 一个二元运算,简称为二元运算. 例如: 即:普通的加法是自然数集合N上的二元运算. 验证一个运算是否为集合S上的二元运算需考虑两点： (1) S中任意两个元素都能进行这种运算，且运算结果唯一。 (2) S中任意两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。 考虑：除法运算是否为是否为实数集合上的二元运算？ 例1. 判断下列运算是否为指定集合上的二元运算 (1)自然数集合N上的乘法、 除法 (2)整数集合Z上的加法、减法、乘法 、 除法 (3)非零实数集R*上的乘法、除法、加法、减法. (4)设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2), 则Mn(R)上的加法、乘法 (5)S为任意集合,则∪,∩,—,?为S的幂集P(S)上的二元运算, (6)S为集合, 是S上的所有函数的集合,则合成运算 上的二元运算. 是 通常用 等符号表示二元运算 ,称为算符. 例如: 设 是S上的二元运算,对 若 与 的运算结果是 即 可利用算符 简记为 注 2. n元运算 定义2 : 设S为集合 , n是正整数,则函数 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算. 例如: (1)实数集R上求一个数的相反数是R上的一元运算, 求一个数的倒数不是R上的一元运算 但是非零实数集R*上的一元运算, (3)在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴 上的投影可以看作是实数集R上的三元运算,即: 令f(x,y,z)＝x,因为参加运算的是有序的3个实 数,而结果也是实数. (2)在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,那么求集合的 绝对补运算是P(S)上的一元运算 如果集合S是有穷集 , S上的一元和二元运算也可以用运算表给出.表5,1和5.2是一元和二元运算表的一般形式. 使用算符表示n元运算 若 ,则可记为 1) 前缀表示法： 一元运算 二元运算 三元运算 2)运算表表示法 n a a ) ( ~ 2 a ) ( 1 ~ a ) n