电磁场与电磁波习题答案8.doc

第八章 8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。 解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下： ， 分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式，得 则相应的亥姆霍兹方程为 8-2 设真空中平面上分布的表面电流，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。 解 平面上分布的表面电流将产生向和方向传播的两个平面波，设z 0区域中的电场和磁场分别为，，传播方向为；而z 0区域中的场强为和，传播方向为。显然，各个场分量均与边界平行。由于表面电流的存在导致磁场强度在边界上不连续，但是电场强度仍然连续。由此求得下列方程： 式中。考虑到 ； 求得，，获知 因此， 那么， ， z 0 同理可得 ， z 0 因此，两边的电场强度分别为 ， z 0 ， z 0 能流密度分别为 , z 0 ， z 0 8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为 (V/m) 试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。 解 已知电场强度瞬时值为 (V/m) 可见这是向+x方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为 (A/m) 式中为媒质的波阻抗。 根据题意，获知平面波的角频率，波数。由此求出 频率：；波长： 相速：(m/s) 能流密度： 8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为 (A/m) 试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。 解 根据题意，获知平面波的角频率，相位常数。由此求出 频率：；波长： 相速：(m/s) 已知磁场强度瞬时值为 (A/m) 可见这是向-y方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为 (V/m) 式中为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为 (V/m) 能流密度矢量： 8-5 当频率分别为10kHz与10GHz的平面波在海水中传播时，求此平面波在海水中的波长、传播常数、相速及特性阻抗。 解 当时，， ， 故可视为良导体。那么 相位常数：；衰减常数： 波长：；相速 波阻抗： 当时，， ， 故可视为非理想的电介质，则 相位常数： 衰减常数： 波长：；相速： 波阻抗： 8-6 推导式（8-3-9）。 解 若媒质的电导率为，则无源区中的麦克斯韦方程为 令，代入下述齐次亥姆霍兹方程 再令，显然为复数。设，将代入得 该方程两端对应的实部和虚部应该相等，即 求解上述联立方程即可求得式（8-3-9），即 8-7 试证一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。 证明 令一个x方向的线极化平面波为 那么可将上式改写为 显然上式右端两项均为圆极化平面波，而且旋转方向恰好相反。这就证实一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。 8-8 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。 证明 由教材8-4节可见，通过坐标轴旋转，任一椭圆极化平面波均可表示为 令，，即 ， 那么前式可展开为 此式又可改写为 显然，上式代表两个旋转方向相反的圆极化波。 8-9 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 证明 设圆极化波电场强度的瞬时值为 上式可改写为 相应的磁场强度为 那么，能流密度瞬时值为 可见，圆极化波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 8-10 设真空中圆极化平面波的电场强度为 (V/m) 试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。 解 由电场强度的表示式可见，，那么 波长：；频率： 因传播方向为+x方向，z分量又导前y分量，因此该圆极化平面波是左旋的。 磁场强度为 （A/m） 能流密度为 （W/m2） 8-11 当平面波自第一种理想介质向第二种理想介质垂直投射时，若媒质波阻抗，证明边界处为电场驻波最大点；若，则边界处为电场驻波最小点。 证明 设入射波的传播方向为+z方向，z 0一侧媒质波阻抗为Z1，z 0一侧媒质波阻抗为Z2，那么，入射波和反射波可以分别表示为 入射波：；反射波： 边界上的反射系数为 由于两种介质均为理想介质，和为实数，且。 媒质①中合成电场可表示为 媒质①中合成电场的振幅为 显然，绝对值的最大值为，而最小值为。 当时，，那么在z = 0的边界上 可见边界上为电场驻波最大点。 当时，，那么在z = 0的边界上 可见边界上为电场驻波最小点。 实际上，当时，，由于边界上反射波和入射波的相位相同，因而形成电场驻波的最大点。当时，，边界上反射波和入射波的相位相反，因而形成电场驻波的最小点。 8-12 当均匀平面波自真空向理想介质平面边界垂直投射时，测得驻波比为2.7，试求该理想介质的介电常数。 解 由题可知，，求得。 若取，则由及，求出 。显然，此结果不合理。因此，应取，则求得。