第十四讲 平面向量经典难题复习巩固.doc

精典专题系列 第14讲 平面向量（一） 导入： 难解的结 古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。 当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。 亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。 有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。” 当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿–结打开了。 大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。 二、知识点回顾： 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模） 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线 共线向量 平行向量双叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： 。 （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 数乘 求实数λ与向量的积的运算 （1） （2）当λ0时，与的方向相同；当λ0时, 与的方向相反；当λ=0时, = 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得 4．两个向量的夹角 定义 范围 已知两个向量a，b，作＝a，＝b，则AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图) 向量夹角θ的范围是，当θ＝时，两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作ab. 5．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ . 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标． 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝，a－b＝， λa＝，|a|＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝， ||＝. 7．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若ab? . 三、专题训练： 考点一 向量的有关概念 给出下列命题： 若|a|＝|b|，则a＝b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a＝b，b＝c，则a＝c； [自主解答]　不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． 正确．＝，||＝||且， 又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且||＝||，因此＝. 正确，a＝b，a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，b，c的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. (4)不正确．由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4)不正确． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的． 考点二 向量的线性运算 △ABC中，＝ ，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、. [自主解答]　＝＝b， ＝－＝b－a. 由ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．又AM是ABC的中线，DEBC， 得＝＝(b－a)． 又＝(＋)＝(a＋b)． ＝＝(a＋b)．在例2题图中，连结C、D交AM于点P，若＝λ，＝μ，求λ、μ.解：＝－＝－＝a－b， ＝