平面、平面的基本性质及应用.doc

平面、平面的基本性质及应用 　　一、平面的基本性质回顾包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：　　（1）选不共线的三点 　　（2）选一条直线与直线外一点 　　（3）选两条相交直线 　　（4）选两条平行直线 二、证明共面的两种方法： 　　1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。 　　例1．已知a//b, Aa, B∈b, C∈b. 　　求证：a,b及直线AB，AC共面。 　　思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα； 　　思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。 　　思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。 　　另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示： 　　写法（一）： 　　证明： a//b（已知） a,b确定一个平面α（推论3） A∈a, b∈b, c∈b（已知） A∈α，Bα，Cα ∴ 直线ABα，直线ACα（公理1 a,b,AB,AC共面。 　　写法（二）： 　　证明： a//b（知） a,b确定一个平面α（推3） A∈α，Bb, C∈b（已知） a经过A，B，C三点， AB∩AC=A ∴ 直线AB，AC确定一个平面β（推论2） β经过A，B，C三点， 　　 A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知） A，B，C不共线 α与β重合（公理3） a, b，AB，AC共面。 　　关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。 　　例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。 　　分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。 　　已知：a//b//c, a∩d=A b∩d=B ，c∩d=C 　　求证：a,b,c,d共面。 　　分析 由a//b可确定一个平面α；由b//c可确定一个平面β。因为α，β都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。 　　证明： a//b（已知） a,b确定一个平面α（推论3） 　　 b//c（已知） b,c确定一个平面β（推论3） 　　 A∈a,B∈b, ∴ A∈α, B∈α, ∴ 直线ABα即dα（公理1） 　　同理可证：dβ, ∴ α，β都经过b和d， 　　 b∩d=B ∴ α与β重合（推论2）。 　　三、证明三线共点，三点共线的方法 　　1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上； 　　2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。 　　例3：已知如图，α∩β=l, aα, bβ, a∩b=A. 　　求证：Al（或者a,b,l共点） 　　分析：只需证明A为α，β的公共点。 　　证明： a∩b=A, aα, bβ, ∴ A∈aα,　 Abβ, 即A为α，β的一个公共点， 　　 l是α和β的交线， A∈l. 　　例4 ：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。 　　求证：D，E，F共线。 　　证明： ΔABC顶点不共线， A，B，C可确定平面β, 　　 D∈α且DABβ, ∴ D是α，β的公共点。 　　同理可证：E，F也是α，β的公共点， 　　 D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线。 　　典型例题 　　一．求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 　　已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C。 　　求证:直线AB、BC、CA共面。 　　证明: 直线AB和AC相交于点A, 直线AB和AC确定一个平面α(推论2). 　　 B∈AB,C∈AC, ∴ BCα(公理1). 因此直线AB、BC、CA都在平面α内,即它们共面. 　　说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。也就是如何确定这个平面。(由公理3及它的三个推论我们知道确定平面有四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明. 　　二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内. 　　已知:直线a、b、c、l,ab∥c,l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C. 　　求证:a、b、c、l共面。 　　证明: a∥b. ∴ a与b确定一个平面(推论3). 　　 l∩a=A