平面向量的数量积教案第一课时.doc

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： ：平面向量的数量积定义平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用即如果一个物体在力F的作用下生位移s，F与s的夹角是θ那么力F所做的功：W＝｜F｜｜s｜cosθF和位移s都是矢量（向量），功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入向数量数量积的定义 已知两个非零向量，数量｜｜｜｜cosθ叫与的数量积，记作，即＝｜｜｜｜cosθθ是的夹角＝0符号“”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替是与的夹角，范围是0≤θ≤π，（再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角）。 （3）两个向量的数量积是一个数与的数量积的符号由夹角θ决定： cosθ =cosθ = 0 cosθ 前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢？ 二、数量积的几何意义 1．“投影”的概念：已知两个非零向量与，θ是与的夹角，||cos( 叫做向量在方向上的投影 思考：投影是向量，还是数量？ 根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0 |(为锐角 (为钝角 (为直角 ||cos( ||cos( ||cos(=0 当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 ||；当( = 180(时投影为 (|| 思考：在方向上的投影是什么，并作图表示 2．数量积的几何意义：数量积等于的长度｜｜在方向上投影||cos(的乘积，也等于的长度||与在方向上的投影｜｜cos与都是非零向量，θ是与的夹角 （1）( ( = 0 （2）当与同向时， = ||||； 当与反向时， = (||||； 特别地， = ||2， （3）cos( = （4）|| ≤ |||| 运算律与运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看看它满足怎样的运算律 四、向量数量积的运算律 已知，，和实数，则向量的数量积满足下列运算律： ＝ (交换律)(λ)＝ ()＝ () (数乘结合律)(＋)＝＋ (分配律)()＝ ()概念辨析正确理解向量夹角定义已知ABC的边长为6，求加深对数量积定义的理解判断正误，并简要说明理由. ＝0＝0，则＝｜｜｜｜与是两个单位向量，则2＝2，那么与夹角为锐角 若且，则 若 且，则 数量积定义运用 例3： 已知｜｜，｜｜，的夹角θ为°，求 （1） （2） （3） (4) （四）课堂小结 本节课我们学习了一种新的向量运算——向量的数量积，与向量的线性运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，但与线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量。本节主要要求要求大家掌握平面向量的数量重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题已知两个非零向量 1.投影的概念 ＝｜｜｜｜cosθθ是的夹角＝0与都是非零向量，θ是与的夹角 四.运算律向量数量积的运算律 例3 （1）( ( = 0 （1）＝ (交换律)与同向时， = ||||； （2）(λ)＝ ()＝ () (数乘结合律)与反向时， = (||||； （3）(＋)＝＋ (分配律) = ||2，， （3）cos( = （4）|| ≤ ||||