平面向量四心问题.doc

三角形的“四心”与平面向量 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上. 例1? 已知O是平面上一?定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的?????? ??????????????（?? ??） Ａ? 外心???? Ｂ? 内心??? C? 重心??? D? 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则?，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、? 垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2? P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的 A．外心　??? B．内心　?????? C．重心　????? D．垂心（? 　）.解析:由. ????? ?即. ??????????? 则， ??????????? 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3? 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔? 〕. A、重心????????? B、垂心????????? C、外心???????? D、内心 解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，? 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了. 四、外心问题 三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上. 例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔? 〕. A．重心????????? B.垂心????????? C.外心???????? D.内心 解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故?是?的外心?，选C. 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结 与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心; 设，则向量必平分∠BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心 △ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心 点是△ABC的外心 点是△ABC的重心 点是△ABC的垂心 点是△ABC的内心 (其中a、b、c为△ABC三边) △ABC的外心、重心、垂心共线，即∥ 设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心， 则有 并且重心G（，） 内心I（，） 例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设都是单位向量 易知四边形AETF是菱形 故选答案B 例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上OB⊥CA 故选答案D 例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足 ，则点O是三角形ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出 故选答案D 例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上 故选答案D 例5 、若存在常数,满足,则点G可能通过的__________. A F E C T B