“二元一次不等式组与平面区域”教案、教案说明及点评.doc

“二元一次不等式组与平面区域”教案、教案说明及点评 郭新宁 执教（宁夏银川二中） 李善良 点评（江苏省教研室） 教案 【教学目标】 1．2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。 3．培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、数形结合的数学思想。 【重点与难点】 （1）重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。 （2）难点：如何确定不等式Ax+By+C0(或0)表示直线Ax+By+C=0的那一侧区域。 【教学准备】 教具：直尺、多媒体设备。 【教学过程】 一、创设问题情景，激发学生兴趣 问题1：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有4个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成10根和8根钢柱的浇铸。问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？ 上述关系如下表： 生产车间数 日生产量 首钢车间 投入生产不超过4 10 鞍钢车间 投入生产不超过6 8 总车间数不超过8个 日生产量至少60根 解：设首钢有x个车间投入生产，鞍钢有y个车间投入生产，根据题意，列出不等式组： 0≤x≤4 0≤y≤6 x+y≤8 （x,yN） 10x+8y≥60 列出不等式组之后，对不等式（组）解释，满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。 二、探究二元一次不等式表示的平面区域 问题2：二元一次不等式x+y＞8在平面直角坐标系下表示什么区域？ 围绕问题2师生展开如下活动。 活动一：由数到形 【教师演示】运用多媒体进行动态展示：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－8=0分成三类：即在直线x＋y－8=0上；直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。 【学生尝试】设点P（x,y1）是直线l上的点，选取点A（x,y2）使它的坐标满足x+y＞8，填写下表： 横坐标x －3 －2 －1 0 1 2 3 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2 在坐标系中将满足不等式的解所对应的点 描绘到坐标系下，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。 【学生猜想】以x+y－8＞0的解为坐标的点都在直线x+y－8=0的右上方。 【共同归纳】一般地，Ax＋By＋C＞0（＜0）在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．提醒注意：我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．画不等式Ax＋By＋C≥0则把边界直线画成实线． 活动二：由形到数 【学生尝试】让学生尝试在直线x＋y－8=0的右上方多取若干点，自动计算x＋y－8的值，发现都是大于零。 【教师演示】教师借助多媒体在直线x+y－8＝0的一侧任意取一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入x＋y－8中，由学生计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线x＋y－8＝0的同一侧的点都满足不等式x＋y－8＞0（或＜0）。从而使二元一次不等式的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。 【共同证明】如何完成从特殊到一般的证明？分析：在直线x＋y－8=0的右上方任取一点A(xA,yA),为了与直线x＋y－8=0的点发生联系，不妨过A点作与x轴垂直的直线交直线x＋y－1=0于P(xp,yp)点。则有xA= xp ，yA＞yp，所以xA＋yA－8＞xp＋yp－8=0 。所以对于在直线x＋y－8=0的右上方任一点A(x,y)都有 x＋y－8＞0。同理可得，在直线x＋y－8=0的左上方任一点都能使x＋y－8＜0成立。 【师生归纳】由于对直线Ax＋By＋C=0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点。 三、例题，练习 例1．画出不等式 2x+y-6＜0 表示的平面区域。 （将具体的知识形成方法和技能，讨论定域方法和画图的注意事项。） 练习（一）画出以下不等式表示的平面区域 ① ② 练习（二）画出以下不等式组表示得平面区域 练习（三）绘制由“鸟巢”问题得出的不等式组表示的区域并解答。 问题解答如图：有六种投入的生产方案，它们分别是（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）（4，3）