平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广.doc

平面向量三点共线定理的推论及空间推广 南昌外国语学校 梁懿涛 邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校 电话 电子信箱：liangyitao@ 一．问题的来源 平面向量三点共线定理:对于共面向量,，则、、三点共线的充要条件是． 二．问题的提出 问题1.在上述定理中，如果、时，分别有什么结论？ 问题2.、有什么特定的意义吗？ 问题3.上述问题可以推广到空间吗？ 三．问题的解决 推论1. 对于不共线向量,若，则 （1）点在直线外侧（不含点一侧）的充要条件是． （2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是． 证明：（1）必要性：如图1-1，连OC交AB于点，则存在实数，使得，，，，． 充分性：，存在，使得且． ，在直线上，在直线外侧． 同理可证（2）． 进一步分析，得： 推论. 对于不共线向量,若，则 （1）连接得直线，过点作平行于的直线，则、将平面分成三个区域，如图1-2点落在各区域时，、满足的条件是： （Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：．特别地，当点落在上时，；当点落在上时，． （2）直线、将平面分成四个区域，如图1-3，则点落在各区域时，、满足的条件是： （Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：；（Ⅳ）区：． 证明略． 推论2.若，，则，且当，则点在线段上；当，则点在线段的延长线上；当，则点在线段的延长线上． 证明：且，，， 。当时，与同向，如图2-1所示，则点在线段上；当时，与反向，且，如图2-2所示，则点在线段的延长线上；当时，与反向，且，如图2-3所示，则点在线段的延长线上． 推论3. 点是所在平面上且与不重合的一点，若，则，，． 证明：只证的情形，其它情形可类似证明． 由得，，存在点使得，且，，，如图3，，同理有，，命题得证． 将以上结论拓展到空间，得： 推论4. 对于不共面的向量,若，则： （1）若，则点在平面上（空间向量基本定理）； （2）若，则点在平面的外侧（不含点O一侧）； （3）若，则点在平面的内侧（含点O一侧）． 证明：仿照推论1，略． 推论5. 对于不共面的向量，若，则 （1），，； （2）； （3），，． 证明：（1），， 由推论3，可知结论成立． （2）由（1）得证． （3），同理可证，． 推论6.已知四面体及与其顶点不重合的点，若，则 ． 证明：只证的情形，其它情形可类似证明． 由，得，令，则四点共面，由推论5，，又，如图4，知，，同理可证，，，命题得证． 四．结论的应用 1．（2006年湖南（理））如图，∥，点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． 解析：由推论1及推论，有，且当，有，即． 答案为：，（，）． 2．（2009年安徽卷（理））给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,则 的最大值是________． 解析：由推论3，，，设，， ， ，此时 3．(2010年高考天津卷理)如图，在中，，，则= ． 解析：，由推论2，得，．答案：． 4．与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是 . ①；②；③；④； ⑤． 解析：由推论1及推论，可知的系数要满足， 适合的只有②．答案为②． 5．（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理）设点在的外部,且,则= ． 解析：由推论3，可知=． 5.（2011届江苏省南京师大附中高三学情调研）设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是 . 解析：由推论1及推论，可知满足，表示点（）到的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为． 6．（自编题）已知点与四面体，且，则． 解析：由推论5，，可知． 7．（自编题）已知点与四面体，且， 则= . 解析：由推论6， 可知. 8．（自编题）已知点是四面体内一点（不包括边界），，则点满足的概率是 . 解析：因为点是四面体内一点（不包括边界），满足，如图建立空间直角坐标系，表示正方体中三棱锥内部的区域，而表示以点为圆心，半径为 的球体在正方体内部的区域，由几何概型知所求概率为 ． 4