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电磁波第二章作业题解答
第二章 静电场 习题解答
2-1.已知半径为的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷,式中的为常数,试计算球面上的总电荷量。
解 取球坐标系,球心位于原点中心,如图所示。由球面积分,得到
2-2.两个无限大平面相距为d,分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷,求两平面外及两平面间的电场强度。
解 对于单一均匀带电无限大平面,根据对称性分析,计算可得上半空间和下半空间的电场为常矢量,且大小相等方向相反。由高斯定理,可得电场大小为
对于两个相距为的d无限大均匀带电平面,同样可以得到
因此,有
2-3.两点电荷和,分别位于和处,求点处的电场强度。
解 根据点电荷电场强度叠加原理,P点的电场强度矢量为点S1和S1处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和,即
式中
代入得到
2-7.一个点电荷+q位于(-a, 0, 0)处,另一点电荷-2q位于(a, 0, 0)处,求电位等于零的面;空间有电场强度等于零的点吗?
解 根据点电荷电位叠加原理,有
式中
代入得到
电位为零,即令
简化可得零电位面方程为
根据电位与电场强度的关系,有
要是电场强度为零,必有
即
此方程组无解,因此,空间没有电场强度为零的点。
2-9.电场中有一半径为a的圆柱体,已知圆柱内、外的电位为
求:(1)圆柱体内、外的电场强度;(2)这个圆柱是由什么材料构成的,表面有电荷吗?
解 (1)根据电位与电场强度的关系式
得到
(2)由于圆柱体是等位体,且圆柱内电场为零,判断材料是导体。有根据电位边界条件
而
所以
2-11.两无限大平行板电极,距离为d,电位分别为0和U0,两板间充满电荷密度为的介质,如图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
解 由于两无限大平板间存在电荷密度分布,电位函数满足泊松方程。又平板沿Y和Z方向无穷大,电位分布与x和z无关,因此,有
且满足边界条件
求解二阶常微分方程,得到
应用边界条件,有
所以
根据电位满足的边界条件
可得在下极板上表面的电荷密度分布为
下极板导体中的电位为零,有
代入,得到
对于上极板,导体中的电位为常数
有
上极板下表面电荷密度为
2-15.空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为(C/m3),应用高斯定理求电通密度D。
解 根据题意知,电荷密度分布与φ、z无关,因此场分布具有柱对称性,电通密度矢量D仅有分量,由高斯定理
取圆柱面为高斯面,有
2-17.在真空中放置一无限长线电荷密度为ρl的细金属棒,证明在径向距离上的两点ρ1、ρ2之间的电位差为
。
解 首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。由于线电荷分布无限长,电通密度矢量仅有径向分量,且在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等,根据高斯定理,有
由此得到电通密度矢量
而电场强度为
根据电位的定义,在径向选择一点为参考点,则有
2-25.如图所示,电荷Q 距离两无限大接地直角平面XY平面的垂直距离为d,距离XZ平面的垂直距离也是d。利用镜像法求任一点P(0, y, z)的电位和电场。
解 两个半无限大导体平面间的夹角,,则所需镜像电荷数为3。首先,移去沿Z轴放置的导体平板,在的空间填充的介质,并在与放置+Q对称的位置上放置等量异号电荷-Q,如图所示。其次,移去Y轴放置的导体板,在的下半空间填充的介质,并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。
利用点电荷叠加原理,得到四个点电荷在P(0, y, z)点产生的电位为
验证
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