动量矩定理与平面运动微分方程.ppt

作业：P359 — 13、15 第五章 动力学普遍定理的综合应用 作业： 5 — 1、5 薄壁空心球 空心圆柱 圆柱 圆环 圆锥体 实心球 矩形薄板 长方体 椭圆形薄板 第一节 刚体的平面运动微分方程 或 一、 质点系相对于质心的动量矩定理 1．对质心的动量矩 由于 （因 ） 有 得 其中 即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。 对任一点O的动量矩： 2 相对质心的动量矩定理 由于 即 * 三、动量矩定理 1 动量矩 （1）质点的动量矩 对点O的动量矩 对 z 轴的动量矩 单位：kg·m2/s （2）质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 等于 对点O的矩。 是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺 时针为负。 （3） 刚体平移。可将全部质量集中于质心， 作为一个质点来计算。 ， （4） 刚体绕定轴转动 转动惯量 即 2. 动量矩定理 ?（1）质点的动量矩定理 设O为定点，有 其中： （O为定点） 投影式： 因此 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 得 称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和。 （2） 质点系的动量矩定理 由于 投影式： 内力不能改变质点系的动量矩。 例1 已知：　　　　小车 ，不计摩擦。 求小车的加速度 。 解： 由 ， 　， 得 例 3： 已知 ， ， ， ， ， ，不计摩擦。 求（1） （2）O处约束力 （3）绳索张力 ， 由 ，得 解： （1） （2）由质心运动定理 （3） 研究 （4）研究 3．动量矩守恒定律 若 ，则 常矢量； 若 ，则 常量。 例：面积速度定理 有心力：力作用线始终通过某固定点， 该点称力心。 由于 ，有 常矢量 （2） 常量 即 常量 由图， 因此， 常量 称面积速度。 （1） 与 必在一固定平面内，即点M的运动 轨迹是平面曲线。 求：剪断绳后， 角时的 。 例 ： 两小球质量皆为 ，初始角速度 。 时， 时， 由 ，得 解： 4. 刚体绕定轴转动的微分方程 主动力： 约束力： 即： 或 或 例 ： 已知： ，求 。 解： 摆动的周期 。 例 物理摆（复摆），已知 ，求微小 解： 微小摆动时， 即： 通解为 称角振幅， 称初相位，由初始条件确定。 周期 例 7： 已知 ，动滑动摩擦系数 ， 求制动所需时间 。 解： 5. 刚体对轴的转动惯量 单位：kg·m2 （1） 简单形状物体的转动惯量计算 A 均质细直杆对一端的转动惯量 由 ，得 B 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 C 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中： 或 (2) 回转半径（惯性半径） 或 (3) 平行轴定理 式中 轴为过质心且与 轴平行的轴， 为 与 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 证明： 因为 有 ，得 例 9： 均质细直杆，已知 。 求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。 对一端的 轴，有 要求记住三个转动惯量 （a）??? 均质圆盘对盘心轴的 转动惯量 （b）??? 均质细直杆对一端的 转动惯量 （c）??? 均质细直杆对中心轴 的转动惯量 则 解： (4) 组合法 求： 。 例10：已知杆