立体几何 空间向量与立体几何课件.ppt

答案　平行 45° 60° ①② * §3　空间向量与立体几何 真题热身 (2011·湖北)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝. (1)求证：CF⊥C1E； (2)求二面角E－CF－C1的大小． 方法一　(1)证明　由已知可得CC1＝3，CE＝C1F＝＝2， EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝＝， 于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC， 所以C1E⊥EF，C1E⊥CE. 又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF. 又CF平面CEF，故CF⊥C1E. (2)解　在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝， CE＝2， 于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF. 又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E， 所以CF⊥平面C1EF. 又C1F平面C1EF，故CF⊥C1F. 于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角． 由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求二面角E－CF－C1的大小为45°. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0),C1(0,2,3),E(0,0,2),F(,1,)． (1)证明　＝(0，－2，－)，＝(，－1，)，·＝0＋2－2＝0. 所以CF⊥C1E. (2)解　＝(0，－2,2)，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 由m⊥，m⊥，得 即解得 可取m＝(0，，1)． 设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥，n⊥， 及＝(，－1,0)，＝(0,0,3)， 可取n＝(1，，0)． 设二面角E－CF－C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 cos θ＝＝＝，所以θ＝45°. 即所求二面角E－CF－C1的大小为45°. 考点整合 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥αa⊥μ?a·μ＝0a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥αa∥μ?a＝kμa1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥βμ∥v?μ＝kva3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥βμ⊥v?μ·v＝0a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 2．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. (3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ. 分类突破 一、利用向量证明平行与垂直 例1 如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点． 求证：(1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 证明　如图建立空间直角坐标系A—xyz， 令AB＝AA1＝4， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)． (1)取AB中点为N，连结CN， 则N(2,0,0)， C(0,4,0)，D(2,0,2)， ∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)， ∴＝， ∴DE∥NC，又∵NC平面ABC， DE平面ABC.故DE∥平面ABC. (2)＝(－2,2，－4)， ＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)． ·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF， 又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF. 归纳拓展　(1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法，用向量法更为普遍． (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明． (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直