概率5-2中心极限定理.ppt

第二节 中心极限定理 * 概率论 * 概率论 中心极限定理 例题 课堂练习 小结 布置作业 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 一、中心极限定理 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 请注意 : 定理2(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理） 设随机变量 (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0p1) 的二项分布，则对任意x，有 证 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 即 下面演示不难看到中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则 于是,检查1900件所花时间为 ,则在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为 例1 检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间.假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率. 二、例题 解法二: 设X为1900件产品中需复查的件数,Y为检查1900件产品所花时间,则 . 在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为 例2 于是 解 例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 用X表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 ,共进行200次独立重复试验. 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 查正态分布函数表得 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 例3 解 例 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 三、课堂练习