数字图像处理 第七讲 图像重建.ppt

图像重建 第七讲 图像重建 7.1 概述 7.2 傅立叶变换投影定理 7.3 图像重建方法 7.4 图像重建的应用 图像重建 7.1 概述 图像重建 7.2 傅立叶变换投影定理 7.2.1 投影定理内容 图像重建 图像重建 图像重建 7.2.2 投影定理证明 图像重建 图像重建 图像重建 图像重建 图像重建 图像重建 图像重建 7.3 图像重建方法 图像重建 图像重建 7.4 图像重建的应用 图像重建 图像重建 图像重建 图像重建 图像重建 * * 图像重建是图像处理中的一个重要分支，被广泛应用于检测和观察中。这种方法一般是根据物体的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 投影重建：指从一个物体的多个投影图重建目标图像的过程。即输入是一系列投影图，输出是重建图。 一个二维物体，它的一维投影的傅立叶变换与二维物体的傅立叶变换的主体部分相等，傅立叶变换重建方法正是以此为基础的。 傅立叶变换重建：将投影进行旋转和傅立叶变换构造整个傅立叶变换平面，然后只需通过傅立叶反变换就可以得到重建的物体。 傅立叶变换投影定理： 极坐标形式 可以证明如下定理： 即f(x,y)以θ角得到的投影g(s, θ)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换在傅立叶空间里(R, θ)处的值。换言之，f(x,y)在与X轴成θ角的直线上的投影的傅立叶变换是f(x,y)的傅立叶变换在朝向角θ上的一个截面。 设f(x,y)为二维图像，其傅立叶变换为： 该图像在X轴上的投影为： 该投影对应的傅立叶变换为： 从而可得： 即二维图像f(x,y)在X轴上投影的傅立叶变换，等于图像二维傅立叶变换在V=0的中心截面。 如果在Y轴上投影，同理可得： 同理，不失一般性，如果不是投影到X轴或Y轴上，而是投影在与X轴夹角θ的方向上，即S轴方向。 可用极坐标形式的二维傅立叶变换来表示上述投影定理关系。 两坐标系间的关系为： 图7－1 两坐标系间关系 将图像f(x,y)向S轴投影，可得下式，此时是沿积分路径s=xcosθ+ysinθ进行的。 该投影的一维傅立叶变换为： 即令点(u,v)是在一条和u轴成θ的直线上，并且与原点的距离为R，则二维傅立叶变换可写成： 上式表面，当频率量u,v和R, θ满足确定关系时，二维图像f(x,y)在S轴上投影的傅立叶变换等于f(x,y)的二维傅立叶变换。 以上从三个方向证明了傅立叶变换投影定理。 因此，要重建图像，只需对投影的傅立叶变换取反变换就可以得到，即： 极坐标表示为： 采用极坐标表示投影函数时，其傅立叶变换仅是对坐标轴的一维变换，θ取决于投影角度的变换。要准确的重建图像，必须有足够多的θ值进行投影。 图像重建的方法通常有以下几种： 一、解联立方程组的方法： 该方法原理简单，但是实际使用时，要解庞大的联立方程组，费时费力，不实用。 二、傅立叶变换法： 基于傅立叶变换投影定理，重建时所需的计算量较小，但由于需要二维插值，所有不易实现，重建图像质量很差。 三、卷积逆投影法： 该方法也基于傅立叶变换投影定理，该方法的基本算法容易用软件和硬件实现，而且在数据质量高的情况下可重建出准确清晰的图像。 四、代数重建法： 该方法在空域中比较灵活，所以容易调整以适应新的应用；能重建出较高对比度的图像。 只简单介绍了性能上的特点，具体方法没有讲。 图像重建技术被广泛应用于许多科学领域，其中最为显著的就是医学方面的应用。 1968-1972年英国科学家Hounsfield研制了头部CT，发明了断层扫描重建图像的技术，图像重建技术在放射医学领域被广泛的应用。 根据原始数据获取方法及重建原理的不同可以分为如下几种： 一、放射断层重建成像: (Emission Computed Tomography,ECT) 这种方法是在物体中注入放射性物质，然后从物体外部检测通过物体后放射出来的能量，由于物体内部不同物质或人体的不同组织对放射能量有不同的吸收或衰减，由此可获取不同的数据，用这些数据就可以重建出所需的图像，从而达到检测物体内部的分布情况人体内部的病变。 二、透射断层重建成像: (Transmission Computed Tomography,TCT) 这种方法是射线源的射线穿过物体或人体组织，然后接收器接受经过物体或人体组织吸收后的剩余射线，由于不同物质或组织对射线的吸收不同，所以，剩余的射线反映了