第二十五章 量子力学基础.ppt

第25章 量子力学基础 §25-1 德布罗意假设、  实物粒子的波粒二象性 1、德布罗意假设： 2、德布罗意波（物质波）的统计解释）： §25-2 不 确 定 关 系 §25-3 波函数、薛定谔方程 1、波函数 — 物质波的数学表达式： 2、薛定谔方程： §24-4 一维无限深势阱 §24-5 一维势垒与隧道效应 §24-6 谐 振 子 概率波的数学表达式称为波函数： 其指数形式为： 沿x方向传播的单色平面光波的波函数为： 沿x方向运动的自由粒子的波函数为： 或： 由物质波的统计意义：物质波的强度=粒子在空间各点处出现的概率。所以，某时刻、某点附近dv体积内粒子出现的概率为： 上式中， 为空间某点附近单位体积内出现粒子的概率，称为概率密度。 而粒子出现在整个空间内的概率应等于1，即： 称为波函数的归一化条件。 另外，波函数还应该满足如下的标准条件： (1) 单值： 任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。 (2) 有限： 粒子出现在空间某处的概率不可能大于1。 (3) 连续。 粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。 质量为m、动量为p、能量为E的一维自由粒子的波函数： 其中： 与时间t无关，称为定态波函数。 上式对x求二阶导数，得： 非相对论情况下： 所以： 称为一维自由粒子的定态薛定谔方程。 若粒子在不随时间变化的势场U中运动，则其能量为： 此时一维定态薛定谔方程为： 推广到三维空间，则有： 式中： 为拉普拉斯算符。 以下三节讨论定态薛定谔方程在一些简单势场中的应用。 经典理论： 一维无限深势阱的势能函数为： 因粒子不可能跃出势阱，所以： 当 x≤0 和 x≥a 时，ψ(x) = 0 。 (1) 粒子在势阱内的能量可以取任意值（连续）； (2) 粒子在势阱内各处出现的概率是相等的。 U(x) 0 a x 量子理论： 势阱内U=0，定态薛定谔方程为： U(x) 0 a x 令： 则： 方程的解： 由边界条件： U(x) 0 a x ? x = 0 时，ψ(0) = 0 得： A = 0 ? x = a 时，ψ(a) = 0 得： 再由波函数的归一化条件： 即： 结论： (1) 一维无限深势阱中粒子的波函数为： (2) 粒子在势阱内各处出现的概率密度为： (3) 粒子可能具有的能量值为： 称为基态能量或零点能。 可见：一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的。 4E1 9E1 16E1 25E1 E1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 0 a x E ψn |ψn |2 讨论： (1) 一维无限深势阱中的粒子在势阱中各处出现的概率密度是不同的，并随量子数而变。 (2) 量子数n增大时，势阱内概率密度的峰值增多。当n→∞时，相邻峰值无限接近，此时，可以认为势阱内概率密度处处相等。 可见：大能量粒子在势阱内的运动回到经典力学的情况。 (3) 对大能量的粒子，量子数n很大，但 4E1 9E1 16E1 25E1 E1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 0 a x E ψn |ψn |2 将波函数ψ=xe–ax2代入势场为U(x)=kx2/2的一维定态薛定谔方程，求：(1) 常数 a = ? (2) 能量E = ? 例题8：(习题25-8 ) 代入薛定谔方程： 得： 即： 解得： 一粒子沿x方向运动，波函数 例题9：(习题25-9 ) (1)由归一化条件求C ；(2)概率密度与x有何关系？(3)什么地方出现粒子的概率最大？ (1) (2) 概率密度： (3) 当 x = 0 时，|ψ|2 最大。 所以粒子出现在 x = 0 处的概率最大。 在一维无限深势阱中，求当粒子处于ψ1和ψ2时，发现粒子概率最大的位置。 例题10：(习题25-10 ) 波函数： (1) （见P.207图25-7） 在一维无限深势阱中，求当粒子处于ψ1和ψ2时，发现粒子概率最大的位置。 例题10：(习题25-10 ) 波函数： (2) （见P.207图25-7） 一粒子处于宽为a的无限深势阱的基态(n=1)，求在(1) x = a/2 ；(2) x = 3a/4；(3) x = a 处Δx = 0.01 a间隔内找到该粒子的概率。 例题11：(习题25-13 ) 一维无限深势阱中粒子的概率密度： 当 n = 1 时： 在宽为a 的一维无限深势阱中，当n =1, 2, 3 和∞时，从阱壁起到a/3 以内粒子出现的概率有多大？ 例题12：(习题25-14 ) 概率密度： 概率： * * * * 玻尔的氢原子理论在解释比氢原子复杂的原子光谱时与实验结果有显著的偏差。同时它也不能计算谱线强度和能级间跃迁的几率问题，