第5章_保费原理.ppt

5.1引言 保险公司的业务可以用一个输入输出系统来描述。 输入：保费，利息，投资收益。 输出：理赔，营运成本。 一个保费计算原理是一条规则。例如称作H，它把一个实数P指定给有分布函数F的随机变量S。即P=H[S]。 实际解释：对于任何风险S，根据保费计算原理，保险公司提出一个保费P=H[S]，表明保险公司愿意接受P，并作出一个大小为S的随机支付。 公司公司从这个合同收益为P-S，它是一个随机变量。 5.2利用上下方法计算保费 Buhlmann( 1 985 )描述了关于保费计算的上下(top-down)方法：首先给出整个保单组合必需的总保费，其次再考虑将总保费以一个‘公平的”方式分配到每个保单上去． 考虑离散时间破产模型: 有如下问题： 保费为： 指数保费的一个特征在于：如果对每个保单都选择这个保费，则简单相加便得到了 对应的总保费 。 设 为保单 的赔付额， , 当它们相互独立时， 方差保费原理也有类似的可加性，即对于某个参数 ，保费由下面的公式而定： 该保费也可以看作是对指数保费的一个近似：设风险厌恶系数较小，我们只考虑累积量母函数Taylor 展开式的前两项 我们可以粗略地说： 下面考虑一个新的问题：如果保费要包含股东（即初始资本的提供者）一年的红利，那么应该多大？ 考虑到这个因素，我们取如下形式的保费： 我们应当选取u使得保费具有竞争力（即越低越好）． 显然，在标准差保险原理下，独立风险变量的保费之和并不等于风险变量和的保费。此时我们不可以简单地要求附加保费与标准差成比例． 最后还有一个问题：如何确定对保单组合里的每个保单应该征收多少保费？ 得到关于保费计算的如下建议： Buhlmann给出了一个包含两类指数型风险保单组合的例子： 我们注意到： （1）初始资本u的提供者要求的回报i越高，u的最优值就越低。 （2）负荷与风险保费远不成比例：A 型风险的负荷是B 型风险的负荷的5 倍。 （3）求得的指数保费几乎是相同的：如果i＝2 % ，那么A 型风险的参数值为2R 的保费是6 . 18 ，而B 型风险对应保费是1 . 037 。 5 . 3 各种保费原理 假设X 是一个有界随机变量．这里讨论的大多数保费原理也适用于无界的或者负的理赔变量场合，不过这时有可能会导致保费等于无穷，即意味着这样的风险变量不可保． 我们已经遇到下面五种类型保费原理： 保费模型：“参数”是一个函数 。 一个单调增且凸的函数 。 下面这些保费原理只是在理论上有意义： 5 . 4 保费原理的性质 下面我们给出保费原理 应该满足的五个性质 (1) 附加保费的非负性． (2) 无敲诈性： (3) 相容性：对每一个 c 有 (4) 可加性对任何独立的风险变量X 和Y ，有 (5) 平滑性：任何风险变量X和Y， 例5 . 4 . 1 （指数保费原理的平滑性）指数保费原理具有平滑性． 例5 . 4 . 2 （复合分布）设 既满足可加性又满足平滑性，再设S 是由N 个与X 同分布的独立随机变量组成的一个复合分布．则S 的保费等于 综上所述，只有指数保费原理，最大损失保费原理和纯保费原理满足所有这些性质。鉴于最大损失保费原理和纯保费原理的实际意义不大，只有指数保费原理才符合这样的挑选准则 。 5.5 保费原理的刻画 定理5 . 5 . l （指数保费原理的刻画）如下的四个命题成立： 1 ．满足相容性的平均值保费原理是指数原理． 2 ．满足可加性的平均值保费原理是指数原理． 3 ．满足可加性的零效用保费原理是指数原理． 4 ．满足平滑性的零效用保费原理是指数原理． 对方程两边求q = 0 点的右导数得