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§6.10 测不准原理及其证明 一．问题的引出 二、测不准原理的推证 注意 图示 返回 一．问题的引出 二、测不准原理的推证 在第五章中，我们讨论理想低通滤波器的阶跃响应时得 到：响应上升时间tr与系统带宽B之间存在一种约束关系， 即： tr B=1（常数）。 从这里可以看出，系统在时域的分辩能力与频域的分辩能 力之间存在着相互制约的关系，即：若要减少tr则须以加大B为 代价；若要减小B 则须要以牺牲tr 为代价。 现在的问题是：能否找到一种系统，使它的tr B之积无限减 少。针对上述问题，就是使用很窄的系统带宽B ，而得到很短的 响应时间tr 。即：使系统在时域和频域两方面的分辩能力都尽可 能得到改善。 要回答这一问题，需引用著名的“测不准原理”。 该原理告诉我们：对于实信号波形，系统的阶跃响 应上升时间tr与系统带宽B之积tr B受到限制，这两个参 量不可能同时达到任意小的数值。 当然，理想低通特性也符合这一规律。 返回 为了推证方便，首先将系统阶跃响应g(t)上升时间tr 的计算转化为系统对冲激响应h(t)持续时间的计算。 这是因为 。 以理想低通滤波器特性为例，其阶跃响应g(t)、 冲激响应h(t)分别如图所示。 从图中可以看出：在h(t)持续时间内由于积分值的增长，恰好对应g(t)的上升时间。 因此，为了推证方便，在下面的推证中，求阶跃响应g(t)上升时间tr与系统带宽B乘积的问题也转化为冲激响应h(t)持续时间与系统带宽B乘积的计算。 需要指出的是：这里将遇到的困难是各种时域波形与频谱图很难用统一的方式规定上升时间tr与带宽B的定义标准。在实际电路分析中一种常用的定义方法是： tr是由终值的{10%~90%}所经历的时间定义； B的定义就更为困难，例如，具有多次起伏型的频谱函数（如Sa函数），通常按两个第一零点间的距离定义为带宽，这种定义方法很粗造，且难以与其它类型的频谱图统一要求。 显然，上述方法都不宜作为理论分析的统一定义标准。 为此，为了便于合理分析，从能量分布的观点给出上述定义是一种比较合理的方法。 假定h(t)的中心值位于t0，信号的能量主要集中在 t0 的范围之内，可以规定从t0 - ~ t0+ 为h(t)的持续时间。 同理，若 的中心值位于 ，且信号的能量主要集中于 的范围内，可以规定从 ~ 为带宽B。 借助二阶矩的概念表示信号的能量分布，并规定： 其中：分子表示信号能量分布的方差， 分母的作用是进行归一化处理。 为了简化推证，不失一般性，可令t0=0、w0=0，这 时对应理想低通的冲激响应没有时延的情况。则得： 借助帕塞瓦尔定理可得： 由傅氏变换微分特性可得： 将 相乘得： 借助柯西——施瓦茨不等式可求出上式下限 可见 之下限为1/2 注意： 时 th(t) 0 2）上述测不准原理也称为加博关系式。 1）这里的 、 都是相对于t0 、 的单边增量值， 如果求双边差值，此时下限应为2， 若将角频率更换为频率值，此下限对单边、双边情 况分别为 或 。 返回 3）事实上，任何成对矛盾量之间，均符合测不准原理。 其中一个测量越精确，另一个量的误差就越大。 返回 g(t)= 延迟=t0 t 0 1 上升时间 延迟=t0 0 t h(t0) h(t) 持续时间 * *