7.4 极大值原理1.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 积分型性能指标(7/7) 上面讨论的是时变的、末值型性能指标泛函的最优控制问题,和定常的、积分型性能指标泛函的最优控制问题的极大值原理。 由于前面所述的各种最优控制问题经数学变换都可等效到同一类型的最优控制问题来处理,故其他情况的最优控制问题的极大值原理可由定理7-9、定理7-10和定理7-11推广而得。 自由末端的极大值原理(1/1) 7.4.4 自由末端的极大值原理 前面讨论了自由末端问题的极大值原理,下面考虑存在 末态约束及 积分型限制 的最优控制问题。 末态约束问题(1/6) 1. 末态约束问题 末态x(tf)受约束的控制问题可描述如下。 末态约束最优控制问题 对定常的被控系统(7-92),其末态满足约束(目标集M) 式中,g1(x(tf))和g2(x(tf))分别表示p维和q维关于x(tf)的连续可微向量函数。 求一容许控制u(t)?U,t?[t0,tf],使末值型性能指标(7-91)取极值。 末态约束问题(2/6) 末态约束(7-144)中末态时刻tf是状态轨线x(t)与目标集M首次相遇的时刻。 若式(7-144)中性能指标含有末值项tf , pn；否则,p?n。 而维数q不受限制。 与自由末端问题不同,现在要求末态x(tf)只能落在由约束条件(7-144)所规定的目标集上。 对于这种约束条件下的泛函极值问题,如同等式和不等式约束下求函数极值一样,通过引入拉格朗日乘子?和?,将末态约束化为等价的末值型性能指标 J1[u(·)]=S(x(tf)) + ?? g1(x(tf)) + ?? g2(x(tf)) 式中,?和?为不同时为零的p维和q维常向量。 末态约束问题(3/6) 类似不等式约束的函数极值问题的库恩-塔克尔定理,考虑不等式约束条件的乘子要满足约束条件 类似于前面定常的末值型性能指标泛函的最优控制问题的极大值原理的证明,有如下末态受等式和不等式条件约束的定常末值型性能指标泛函的最优控制问题的极大值原理。 末态约束问题(4/6)—定理7-12 定理7-12(末态约束极大值原理)末态约束最优控制问题的最优控制函数为u*(t)、最优状态轨线为x*(t)和协态向量函数?(t),以及不同时为零的p维常向量?和q维常向量?,使得: 1) x*(t)和?(t)满足规范方程 式中,哈密顿函数为 末态约束问题(5/6) 2) 边界条件 3) 哈密顿函数H作为u(t)?U的函数,在u(t)=u*(t),t?[t0,tf]时取绝对极小,即 或 末态约束问题(6/6) 4) 在最优轨线的末端,哈密顿函数应满足 上面给出的是末态受约束的定常性能指标泛函的最优控制问题的极大值原理,对于其他情况, 如时变的、积分型的或复合型的性能指标泛函的最优控制问题的极大值原理, 可参照定理7-12及相应的定理7-10或定理7-11得到。 这里不再进行详细讨论。 积分约束问题(1/7) 2. 积分约束问题 实际被控系统由于所处环境的复杂性,所受的限制、约束条件是各异的。 例如,航天器材上要求总的消耗能量是有限的。 这些约束条件有时可用对状态变量x(t)和控制变量u(t)的积分型约束条件来表示。 这类有积分型约束条件的最优控制问题可描述如下。 积分约束问题(2/7) 积分型约束最优控制问题 对定常的被控系统(7-92),其系统状态轨线x(t)和控制函数u(t)满足积分型约束 式中,L1(x(t),u(t))和L2(x(t),u(t))分别为k维和l维向量函数。 求一容许控制u(t)?U,t?[t0,tf],使积分型性能指标(7-138)取极值。 处理这类问题与前面类似,同样可以先采用引进新的状态变量的方法将受上述积分限制的最优控制问题转换到前面已经讨论过的最优控制问题,从而获得该最优控制问题的极大值原理。 积分约束问题(3/7) 如,引入辅助状态变量x0,x1和x2如下 则积分型性能指标泛函变换为辅助末值型性能指标泛函 J[u(·)]=x0(tf) 上述积分型约束变换为如下辅助状态变量的末端条件 x1(tf)=J1=0 x2(tf)=J2?0 那么,再应用极大值原理,可推导得受积分限制的、积分型性能指标泛函指标的最优控制的极大值原理。 积分约束问题(4/7)—定理7-13 定理7-13(积分型约束极大值原理) 积分型约束最优控制