常微分课后答案第一章.doc

第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程的解，这里是常数． （1）； （2）是任意常数)； （3）； （4）是任意常数)； （5）是任意常数)； （6）是任意常数)． 解 （1），所以，故为方程的解． （2），所以，故为方程的解． （3），所以，故为方程的解． （4），所以，故为方程的解． （5），所以，故为方程的解． （6），故，因此为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1），； （2），（是任意常数）； （3），（是任意常数）； （4），； （5），； （6），； （7），； （8），． 证明 （1）因为，所以． （2）由于，故 ． （3）由于，，于是． （4）由，因此． （5）因为，所以 ． （6）从，得． （7）由，得到 ． （8）． 4．给定一阶微分方程， （1）求出它的通解； （2）求通过点的特解； （3）求出与直线相切的解； （4）求出满足条件的解； （5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 ． （2）由，得到，所以过点的特解为． （3）这时，切点坐标为，由，得到，所以与直线相切的解为． （4）由，得到，故满足条件的解为． （5）如图1-1所示． 图1-1 5．求下列两个微分方程的公共解： （1）； （2）． 解 公共解必须满足，即 ， 得到或是微分方程和的公共解． 6．求微分方程的直线积分曲线． 解 设直线积分曲线为，两边对求导得，，若，则，得到，不可能．故必有，则，代入原方程有 ，或， 所以， ，得到 或． 所求直线积分曲线为和． 7．微分方程，证明其积分曲线关于坐标原点成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线． 证明 设是微分方程的积分曲线，则与其关于坐标原点成中心对称的曲线是．由于适合微分方程，故，分别以代，亦有 ， 而由，得到，从而也是此微分方程的积分曲线． 8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由C冷至C，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到C？假设空气的温度为C． 解 设物体在时刻的温度为，，微分方程为，解得 ，根据初始条件，得，因此 ， 根据 ，得到，由此，所以得到，当时，解出（分钟）（小时）． 在1小时的时间内，这个物体的温度达到C． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为； （2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长； （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数； （4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比． （提示：过点d的横截距和纵截距分别为和）． 解 （1）曲线上任一点为，则，即． （2）曲线上任一点处的切线方程为，与两坐标轴交点为和，两点间距离为，即 ． （3）由（2），有 ，或． （4）由（2），有 ，或． （5）由（2），． （6）同样由（2），，或． （7）易得 （为常数且）．