第二节 凸函数和凸规划.ppt

第二节 凸函数和凸规划 凸函数及其性质 凸规划及其性质 凸函数和凸规划 1. 凸函数及其性质 1. 凸函数及其性质 (a) 凸函数 (b)凹函数 1. 凸函数及其性质续一 凸函数的基本运算性质 注：一般来说上述定理的逆是不成立的。 1. 凸函数及其性质续二 1. 凸函数及其性质续三 2. 凸规划及其性质 约束集 如果(MP)的约束集X是凸集，目标函数f是X上的凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划，或简称为凸规划。 凸规划性质 凸规划的性质 定理 4.2.6 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 凸规划及其性质-例题 例 4.2.3 验证下列（MP）是凸规划 定义 4.2.1 设是非空凸集，，如果对任意的有 ， 则称f是S上的凸函数，或f在S上是凸的。如果对于任意的有 ， 则称f是S上的严格凸函数，或f在S上是严格凸的。 若-f是S上的（严格）凸函数，则称f是S上的（严格）凹函数， 或f在S上是（严格）凹的。 定理 4.2.1 设是非空凸集。 若是S上的凸函数，，则 是S上的凸函数； 若都是S上的凸函数，则是S上的凸函数。 定理 4.2.2 设是非空凸集，是凸函数，，则集合 是凸集。 定理 4.2.3 设是非空开凸集，可微，则 f是S上的凸函数的充要条件是 ， 其中是函数f在点处的一阶 导数或梯度。 f是S上的严格凸函数的充要条件是 ， 定理4.2.3证明 证明 必要性.设是上的凸函数，对有： 故 （4.2.3） 由多元函数Taylor展开式可知： 将其带入（4.2.3）并令便便可得到 充分性.设 对取，由凸知，对分别有： （4.2.4） 和 （4.2.5） 将（4.2.4）乘以，（4.2.5）乘以，两式相加得到 证明和（1）类似. 定理 4.2.4 设是非空开凸集，二阶连续可导，则f是S上的凸函数的充要条件是f的Hesse矩阵在S上是半正定的。 当在S上是正定矩阵时，f是S上的严格凸函数。（注意：该逆命题不成立。） 定理4.2.6证明 证明：设是凸规划（MP）的一个局部解，存在则的临域使得 若不是（MP）的整数最优解，则存在，使 又因为是凸函数，有 显然，当充分小时，有 出现矛盾。 定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若 皆为上的凸函数，皆为线性函数， 并且f是X上的凸函数，则(MP)是凸规划。 解答：将二次目标函数改写为： 由例4.2.2知的 Hesse矩阵为： 的一、二、三阶顺序主子式分别为： 正定，为凸函数。 而半正定，是凸函数。其他约束条件均为线性。故改（MP）为凸规划。