第六节 两个自由度体系的自由振动.ppt

* * §11-6 两个自由度体系的自由振动 在实际工程中，很多问题都是简化为多自由度体系来计算。多自由度体系在强迫振动时的动力反应与体系的动力特性(自振频率、主振型等)有密切关系。分析多自由度体系自由振动的目的是确定体系的自振频率和相应的主振型。 在单自由度体系自由振动的分析中已经看到，阻尼对自振频率的影响很小，在多自由度体系中也是如此。另外，在分析多自由度体系强迫振动的动力反应时，常要用到不考虑阻尼情况下体系的主振型。所以在分析多自由度体系的自由振动时，不考虑阻尼的影响。 本节先讨论两个自由度体系，下节再推广到n个自由度体系。与单自由度体系一样，两个自由度体系建立运动方程也有柔度法和刚度法，分别讨论如下。 一、柔度法 1.运动方程的建立 按动静法，将惯性力 和 分别作用在质点m1和m2上(图11-34b)，则质点位移y1(t)、y2(t)应等于这两个惯性力共同作用所产生的静力位移。根据叠加原理可得 或 式中 ，的物理意义如图11-34c、d所示，它们是结构的柔度系数。根据位移互等定理， . 2.频率和振型的计算 注意到单自由度体系的自由振动为简谐振动，假定微分方程组的特解为两个质点作同频率、同相位的简谐振动， 即 二阶导数为 将上面式子代入运动方程，消去公因子sin(ωt+ )，经整理后得 右式是以质点振幅A1和A2为未知量的齐次线性代数方程组。其中零解对应于无振动的情况，不是所要求的解答。为使方程组具有非零解，则其系数行列式必须等于零，即 上式称为频率方程，用它可求出体系的自振频率ω。 令 = ，并将上式展开得 由此可解出 的两个正实根 (大值)和 (小值)如下： 于是求得频率的两个值为 两个自由度体系有两个自振频率，其中较小的一个用ω1表示，称为第一频率或基本频率；另一个用ω2表示，称为第二频率。相应的两个自振周期分别为: 将ω1、ω2分别代入下式可求相应的A1和A2 当ω=ω1或 ω=ω2使方程组(11-46)的系数行列式等于零，因此它的两个方程不是独立的，只能由其中的任一方程求出A1与A2的比值。 当ω=ω1时,此时A1用 表示，A2 用 表示，则由式(11-46)的第一式得 相应地，得到质点位移y1(t)、y2(t)的一个特解 由此可知 。它表明：在自由振动过程中，两质点位 移的比值保持为常数 ，也就是说在任何时刻体系的振动都保持同一形状。这种相对位移保持不变的振动形式称为主振型，简称振型。 同理，对于 的情况，有 当体系按 振动时，质点位移y1(t)与y2(t)之比为1: ，称为第一振型或基本振型。当体系按 振动时，质点位移y1(t)与y2(t)之比为1: ，称为第二振型。当多自由度体系按某个主振型作自由振动时，由于振动形式不变，只需一个几何坐标即能确定全部质点的位置，因此它实际上如同一个单自由度体系那样在振动。 要使体系按其某一主振型作简谐自由振动，只有在特定的初始条件下才能出现。例如，对应于第一振型，应有 这表明只有当质点2的初位移和初速度均分别为质点1的初位移和初速度的 倍时，体系才会按第一振型作自由振动。这种在特定初始条件下出现的运动形式在数学上称为微分方程组的特解。 3.运动方程的通解 将两个特解进行线性组合就得到通解： 式中有四个独立的待定常数，它们可由四个初始条件来确定。所以，给定任意四个初始条件后，即可完全确定体系的自由振动。由上式可知，在一般初始条件下，质点的位移是由具有不同频率的简谐振动叠加而成的，它不再是简谐振动。不同质点的位移的比值也不再是常数，而是随时间变化。 需要指出，体系能否按某个主振型作自由振动由初始条件决定，但由式(11-47)~(11-50)可以看出，体系的自振频率和主振型则完全取决于体系的质量和柔度系数，而与初始条件无关。 例11-9 试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 解：(1)求柔度系数 体系有两个自由度。作 图，如图b、c所示。由图乘法求得柔度系数 (2)求自振频率 将柔度系数及m1=m2=m代入式(11-48)求得 于是得到两个自振频率 (3)求主振型 由式(11-49)求得第一振型为 由式(11-50)求得第二振型为 这表明体系按第一频率振动时，两质点保持同向且相等的位移，其振型是对 称的 ;按第二频率振动时，两质点的位移是等值而反向的，振型为反对称形 状 o 由此例可以看出，若结构本身及质量分布都是对称的，则其主振型不是对称的便是反对称的。因此