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成才之路数学选修2-1
2.3.2
一、选择题
1.已知双曲线与椭圆+=1共焦点,它们的离心率之和为,双曲线的方程应是( )
A.-=1 B.-=1
C.-+=1 D.-+=1
[答案] C
[解析] ∵椭圆+=1的焦点为(0,±4),
离心率e=,
∴双曲线的焦点为(0,±4),离心率为-==2,
∴双曲线方程为:-=1.
2.焦点为(0,±6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] B
[解析] 与双曲线-y2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为-y2=λ(λ≠0),
又因为双曲线的焦点在y轴上,
∴方程可写为-=1.
又∵双曲线方程的焦点为(0,±6),
∴-λ-2λ=36.∴λ=-12.
∴双曲线方程为-=1.
3.若0ka,则双曲线-=1与-=1有( )
A.相同的实轴 B.相同的虚轴
C.相同的焦点 D.相同的渐近线
[答案] C
[解析] ∵0ka,∴a2-k20.
∴c2=(a2-k2)+(b2+k2)=a2+b2.
4.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
[答案] D
[解析] ∵=,∴==,∴=,
∴=,∴=.
又∵双曲线的焦点在y轴上,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
5.(2009·四川文,8)已知双曲线-=1(b0)的左右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
[答案] C
[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质.
由题意得b2=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),
又点P(,y0)在双曲线上,∴y=1,
∴·=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+y=0,故选C.
6.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 设双曲线方程为-=1(a0,b0).
∵△MF1F2为等腰三角形,∠F1MF2=120°,
∴∠MF1F2=30°,∴tan30°==,=,
=1-()2=,()2=,∴e=.
7.已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距,且方程ax2+bx+c=0无实根,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.1e-2 B.1e2
C.1e3 D.1e2+
[答案] D
[解析] 由已知Δ=b2-4ac0,
∴c2-a2-4ac0.
∴()2-4()-10,即e2-4e-10.
∴2-e2+.
又e1,故1e2+.
8.已知椭圆+=1和双曲线-=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( )
A.x=±y B.y=±x
C.x=±y D.y=±x
[答案] D
[解析] 由题意c2=3m2-5n2=2m2+3n2,
∴m2=8n2,
∴双曲线渐近线的斜率k=±=±.
方程为y=±x.
9.(2010·海口期末)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.24 B.36 C.48 D.96
[答案] C
[解析] 依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16,因此△PF1F2的面积等于×16×=48,选C.
10.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( )
A.- B.-4 C.4 D.
[答案] A
[解析] 双曲线方程化为标准形式:y2-=1,
则有:a2=1,b2=-,
由题设条件知,∴2=,
∴m=-.
[点评] 双曲线作为圆锥曲线的一种,其几何性质常作为高考命题的热点问题.但难度一般不大,掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和渐近线方程是解决双曲线问题的突破口.
二、填空题
11.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点坐标是____________.
[答案] (,0)(-,0)
[解析] 由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x,∴m=-3,求得双曲线方程为-=1,从而得到焦点坐标(,0)(-,0)
12.(2010·福建文,13)若双曲线-=1(b0)的渐近线方程为y=±x,则b等于________.
[答案] 1
[解析] 本题主要考查双曲线的渐近线方程.
双曲线-=1(b0)的渐近线方程为y=±x,
∴=,即b=1.
13.已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方
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