6.1孤立奇点的分类.ppt

* * 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类 定义1 若 在 不解析，但在 的某一去心邻域 内解析，则称 是 的孤立奇点。 第6节 解析函数的孤立奇点 （1） 为 的可去奇点： 若 中无负幂项 根据Laurent级数的形式分类： 设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域 内， 的Laurent 展式为: （3） 为 的本性奇点： （2） 为 ( m 级)极点： 负幂项只有m项 负幂项无穷多项 定义2 根据 的极 限分类： 性质1 性质2 例1 求下列函数的奇点，并指出其类型： 解： 解： 解 Laurent 展式为: Laurent 展式为: 无负幂项 有限个 负幂项 无穷个 负幂项 二.留数 设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域 内 ， 的Laurent 展式为: 留数计算法： 证明 2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算。这是因为表达式 这不影响证明结果。 的系数 中可能有一个或几个为零而已， 解 例2 求下列函数的有限奇点并计算留数： 无穷远点处的留数 例3 求下列函数在无穷远处的留数： 解 法1 所以，0为 的三级极点，且 法2 因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点， 所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得 三.留数定理 定理1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，L是D内包围诸奇点的一 条逆时针方向简单闭曲线，那么 由复合闭路定理,得 利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分， 转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。 *