函数的微分录课材料.ppt

一、认识函数的微分 二、函数微分的概念 例2（2） 例2（3） 三、微分的几何意义 四、微分在近似计算中的应用 小 结 §2.5 函数的微分 §2.5 函数的微分 2.5.1 认识函数的微分 2.5.2 函数微分的概念 2.5.3 微分的几何意义 2.5.4 微分在近似计算中的应用 小 结 本节基本要求 1.理解函数微分的概念，会求函数的微分； 2.了解可微与可导的关系以及微分的几何意义. 3.理解并掌握微分在近似计算中的应用. 重点：微分的概念与计算 难点：微分的概念. 引例:求正方形金属薄片均匀受热后面积的改变量. 解： 增量结构分析: (1) — ?x的线性函数; (2) — ?x 的高阶无穷小. 增量各部分作用分析: 取 , 则有 取 , 则有 推想: 对于一般的函数 y = f(x), 其在任一点 x 处的增量 ? y = f(x + ?x)? f(x) 是否也可表示成如此形式? 即是否也可有 ?y = A?x + o(?x), 且 ?y ? A?x= o(? x)? 如果这一推想能够成立, 函数增量的计算将会变得简单得多！ 定义： 若一元函数 y=f(x)在点 x 处满足: 其中 为不依赖于 的常数,则称一元函数y=f(x) 在点 x 处可微, 且称 为一元函数 y=f(x) 在点 x 的微分, 记作: 考察以下两个问题： ①需确定函数在什么条件下能使 ? y =A? x +o(?x) 这时可得当 ? y ? A?x成立? ②如果在一定的条件下, 能使 ?y ? A? x成立, 还需确定函数微分的具体形式, 即 A =? 可微的必要条件: 分析: 由上分析求得函数可微的必要条件,且函数微分的系数A 恰好就是函数在该点的导数 f?(x0), 即有 可微 可导, 且 dy = f ?(x0)?x 可微的充分条件: 分析: 由于A = f ?(x0)是与 ?x 无关的常数, 故由定义知, 函数 y = f(x)在点 x0 处可微. 可导 可微, 且 dy = f ?(x0)?x 函数可微的充要条件: 可导 可微,且dy = f ?(x0)?x ⑴自变量的微分 ⑵ 微分一般表达式 几点说明: ⑶ 导数即“微商” 函数微分dy是函数增量△y的线性主部 (微分实质)。 故当 即可用微分近似代替函数的改变量。 说明：导数和微分虽然有着密切的联系，但它们又是有区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由自变量增量引起的函数增量主要部分。导数的值只与 有关，而微分的值与 和 都有关。 由此可见, 导数也即“微商”，函数的可导性与可微性是等价的。 例1: 解： 先求导,再求微分 例2 求下列函数的微分 解： 例3 已知 ，求 例4 解: 在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立. M N T ） 几何意义:(如图) P Q 1.函数增量的近似计算公式 设 在点 处的导数 且 很小, 则 2.函数值的近似计算公式 计算 在点 附近的近似值: 由 得 很小时) 微分近似计算公式 很小时) 附近的近似公式: 得到函数 在点 令 特别地, 常用函数的近似计算公式 由微分近似公式 易得常用初等函数的近似公式 很小时): (1) (2) 为弧度); (3) 为弧度); (4) (5) 例5 解 计算下列各数的近似值: (1) (2) (1) (2) 微分学所要解决的两类问题： 函数变化率问题 函数增量问题 导数的概念 微分的概念 求导数和微分的方法统称做——微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学， 叫做——微分学.