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第10章 代数系统 本章说明 本章内容 10.1 二元运算及其性质 10.2 代数系统 本章小结 作 业 10.1 二元运算及其性质 定义10.1 设S为集合，函数 f：S×S→S 称为S上的二元运算，简称为二元运算。 举例 f:N×N→N，f(x,y)＝x +y 是自然数集合N上的二元运算 f:N×N→N，f(x,y)＝x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。 例10.1 （1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。 （2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。 （3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。 （4）设S＝{a1,a2,…,an}，ai?aj =ai为S上二元运算。 例10.1 （5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即 一元运算 定义10.2 设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算。 例10.3 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集 合R上的一元运算。 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R* 上的一元运算。 （3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。 一元运算举例 二元与一元运算的算符 可以用?、?、·、?、?、?等符号表示二元或一元运算，称为算符。 设f : S×S→S是S上的二元运算?，对任意的x, y∈S，如果x与y的运算结果为z，即f(x,y)＝z，可以利用算符?简记为 x?y = z。 对一元运算?，x的运算结果记作?x。 例题 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算? ： ?x,y∈R，x ? y = x。 那么 3 ? 4 = 3，0.5 ?(?3) = 0.5。 二元与一元运算的表示 函数的解析公式 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） 例10.4 例10.4 设S={1,2}，给出P(S)上的运算?和~的运算表 ，其中全集为S。 例10.5 例10.5 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算?如下： x ? y＝(xy) mod 5， ?x,y∈S 求运算?的运算表。 二元运算的性质 定义10.3 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有x?y=y?x，则称运算?在S上满足交换律。 定义10.4 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有 (x?y)?z=x?(y?z)，则称运算?在S上满足结合律。 说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。 定义10.5 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有x?x=x，则称运算?在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足x?x=x，则称x为运算?的幂等元。 举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。 例题 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合, n?2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|?2 。 二元运算的性质 定义10.6 设?和?为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，有 x?(y?z) ＝ (x?y) ?(x?z) （左分配律） (y?z)?x ＝ (y?x) ?(z?x) （右分配律） 则称运算?对运算?满足分配律。 说明：若*对?运算分配律成立，则*对?运算广义分配律也成立。 x?(y1? y2 ? …? yn ) ＝ (x?y1)?(x? y2)? … ? (x? yn) (y1? y2 ? …? yn )?x ＝ (y1?x) ?(y2?x) ? … ? (yn?x) 定义10.7 设?和?为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y∈S，都有 x?(x?y)＝x x?(x?y)＝x 则称运算?和?满足吸收律。 例题 二元运算中的特异元素—单位元 二元运算中的特异元素—零元 定义10.9 设?为S上的二元运算， 如果存在元素θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有 θl?x = θl (或x?θr = θr)， 则称θl (或θr)是S上关于?运算的左零元(或右零元)。 若θ∈S关于?运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算?的零元。 二元运算中的特异元素—逆元 定义10.10 设?为S上的二元运算，e?S为?运算的单位元，对于x∈S， 如果存在yl（或yr）∈S使得 yl?x＝e（或x?yr＝e） 则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆