【高中数学选修2-2】1.3.2函数的极值与导数题库.ppt

北京大峪中学高三数学组石玉海 * 函数的极值 * 1.3.2 函数的极值与导数 函数单调性与导数的关系? 设函数y=f(x)在某个开区间内 如果f ′(x)0，则f(x)在这个区间内为增函数； 如果f ′(x)0，则f(x)在这个区间内为减函数； 如果f ′(x)=0，则f(x)在这个区间内为常数函数； 复习: 切记： 如果函数f(x)在指定区间单调增，则 f’(x) ≥0 如果函数f(x)在指定区间单调减，则 f’(x) ≤0 y x O a b y=f(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右临近各点处的函数值大小有什么关系? 观察图象， 问题探究： 一、函数的极值定义 一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； 函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的x0称为极值点 说明：1、在定义中，取得极值的x0称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。 一、函数的极值定义 一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； 函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 2、极值反映了的函数在某一点附近的大小情况，是函数的局部性质.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。即:极大值不一定等于最大值,极小值不一定等于最小值.极大（小）值不一定比极小（大）值大（小）. 一、函数的极值定义 一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； 函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 3、函数的极值不唯一，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不只一个。 y x O 观察与思考：极值与导数有何关系？ 在极值点处，曲线若有切线则切线是水平的，即:当切线存在时,极值点处的导数为0. a b y=f(x) x1 f ?(x1)=0 x2 f ?(x2)=0 x3 f ?(x3)=0 注意：导数为0的点不一定是极值点,如y=x3 f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 1、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极小值； 已知函数f(x)在点x0处的 时，则 二、判断函数极值的方法 x2 思考： 函数存在极值点的充要条件是什么？ 例1 求函数 的极值。 y + 0 － 0 + y′ (2，+∞） 2 (-2，2） -2 (-∞，-2） x 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2 当x变化时，y′, y的变化情况如下表： 因此，当x=-2时， y极大值=28/3 当x=2时， y极小值=－4/3 极大值 28/3 极小值 -4/3 1、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极小值； 已知函数f(x)在点x0处的 时，则 求函数f(x)极值的步骤： (2)解方程：求方程f ’(x）=0的根； (3)列表格：用(2)中求