谈线性代数与空间解析几何的整合.pdf

第 19 卷第 5 期 大　学　数　学 . 19, №. 5 V o l 2003 年 10 月 COLL EGE M A TH EM A T ICS O ct. 2003 谈线性代数与空间解析几何的整合 杜建卫 (北京石油化工学院 数理部, 北京 102617) 　　[摘　要] 线性代数与空间解析几何的产生、发展, 意味着它们是不可分割的两部分, 本文分析和论述了 线性代数与空间解析几何整合的必要性和可行性. [ 关键词] 直观背景; 抽象概念; 代数方法; 几何问题 ( ) [ 中图分类号] O 1512; O 1822　　[ 文献标识码] C　　[ 文章编号] 2003 在十七世纪, 笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系, 从而在几何与代数间建立了一座桥梁, 用 代数方法解决空间的几何问题, 产生了解析几何. 解析几何的产生, 可以说是数学发展史上的一次飞跃. [ 1 ] 恩格斯曾经这样评价 : 数学中的转折点是笛卡尔的变数, 有了变数, 运动进入了数学, 有了变数, 辩证 法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就成了必要的了. 人们也注意到, 对于变量不多于三个的某些代 数问题, 如果将其解释为相应的几何问题, 有助于代数问题的解决. 当处理变量个数多于三个的问题时, 直观的几何解释不再存在, 但是数学家从几何学的经验中汲取直觉, 把几何空间的向量运算规律抽象出 来, 形成了有限维向量空间理论, 建立空间基的概念, 将坐标系的概念推广到抽象的线性空间中, 再将其 中得到的理论应用于几何空间. 历史上, 几何与代数互为问题, 互为方法, 相互交融, 因此在工科数学教 学中, 我们没有理由分离解析几何与线性代数, 应将它们相结合构成一门课程, 这是工科数学教学内容 与课程体系改革的趋势之一. 以往线性代数是独立的一门课, 空间解析几何是高等数学的一章, 各成体 系, 将它们结合不能是简单的将空间解析几何从高等数学中分离出来, 与线性代数求并集, 这种结合应 为合理的整合, 就是要把线性代数与空间解析几何融和在一起, 形成自己的独立体系, 这种整合是必要 的也是可行的. 1　以向量代数和坐标系为直观背景, 实现向 n 维向量空间的过渡 要想实现线性代数与空间解析几何的整合, 摆在我们面前的首要问题就是要找到这种整合的切入 点和结合点. 人们最容易接受的思维方式就是由具体到抽象, 因此以向量代数和坐标系为直观背景, 可 以实现向 维向量空间的过渡. n [ 2 ] 在讨论 n 维向量空间的概念时, 学生从它的定义 即“实数域上对加法和数乘封闭的向量集合”很 难理解这个概念, 而向量空间的本质在于向量空间是一个向量集合, 只要找到它的一组基, 由这组基可 以生成向量空间, 并且向量空间的任一个向量都可以由这组基线性表示, 这会涉及到以下一些概念: 向 量的线性相关性、向量组的极大无关组、向量空间的基, 它们也是线性代数中的难点知识, 这正好对应三 维几何空间坐标系的概念. 学生在中学就接触过平面直角坐标系, 向量共线、共面的几何意义对他们来 说不算陌生, 所以, 在讨论向量代数运算后, 引出两向量共线的充要条件和三向量共面的充要条件, 它 们是: 　[ 收稿日期] 　[基金项目] 北京市教委教改资助项目 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights res