全错位排列递推公式的简易推导(齐麟–晋级).doc

全错位排列递推公式的简易证明 华图教育 齐麟 错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用。本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明。 首先，我们先来认识错位排列： 1.部分错位排列： 【例】5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 用排除法：先考虑5个的全排列，有种不同的排法，然后除去甲排第一（有种）与乙排第二（也有种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：－2＋＝78种。 【例】5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法。 故5人的全错位排列方式共有44种。 因此我们可以由容斥原理得到n个元素的全错位排列公式： =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!) 错位排列的递推公式 简单计算后我们有：；；。 计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑： 假定元素为A、B、C、D；对应的位置为a、b、c、d。对于元素A，我们可将其放在b、c、d三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A来说是等价的；假定A现在放在了b位置。 此时，元素B有两种选择：①放在a位置；②不放在a位置；当元素B放在a位置时，我们会发现，之后的情形与相同；而当B不放在a位置时，情况与相同（因为B不放在a位置，我们可以认为a位置就是b位置）。 因此，我们得到一个递推公式：； 类似的，得到n个元素全错位排列的递推公式： 华图文库: 公务员之路从华图起步 A B C D b a c d A B C D b a c d A B C D b a c d A B C D a b c d