全等三角形专题-三角形的旋转、翻折与线段的截长补短.doc

全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短经典例题透析类型一：由角平分线想到构造全等1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图 1 　　　　　　　　　　　　　　图 2　　解析：　由题意得　　　　　　△BFE≌△DFE，∴ BE=DE，　　　　　　在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°，　　　　　　∴ ∠BDE=∠DBE=45°，　　　　　　∴ ∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，　　　　　　过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，四边形AGED是矩形∴ GE=AD=2，　　　　　　在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE，　　　　　　∴ Rt△ABG≌Rt△DCE，∴ BG=CE，∴ ，∴ BE=5．　　2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A　求证：　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　图 3　　　　　　 图 4　　解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D，　　　　　则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C　　　　　∴ AD=BD=BC　　　　　作BM⊥AC于M，则CM=DM．　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　图 5　　　　　　　　　　　　 图 6　　解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，　　　　　四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形．　　　　　∴ DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF　　　　　作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　，，　　　　　∵ AD＞BC，AD＞DF　　　　　∴ AH＞FH，EH＞BH　　　　　，　　　　　∴ DE＞BD，　　　　　即AC＞BD.　　4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 7　　解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n，　　　　　则c+n=b+m，c-b=m-n，∵ AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　，　　　　　∴ ，　　　　　　　　　　，　　　　　∵ c+b＞m+n，　　　　　∴ c-b=0即c=b，　　　　　∴ AB=AC．类型二：勾股定理的逆定理的运用5．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为________，∠APB=________．　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　图 8 　　　　　　　　　　　　　　图 9　　解析：如图9，连结，是由旋转得到的，所以≌　　　　　所以. .　　　　　所以三角形是等边三角形，．　　　　　则在三角形中．　　　　　所以是直角，．　　6．如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图 10 　　　　　　　　　　　图 11 　　解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，　　　　　连接AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AE=DB，∠ABC+∠CBE=90°，　　　　　根据勾股定理有，即．　　7．如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，则　　A．DE=BC 　　　　B．DE＞BC　　C．DE＜BC　　　　D．DE与BC大小关系决定于∠A的大小．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　图 12 　　　　　　　　　　图 13　　解析：如图13，分别过D和E点作到BC边的垂线，交BC及其延长线于G和H．则　　　　　根据，可得到△BDG≌△ECH. 所以BG=CH．　　　　　所以BC=GH． 显然DE＞GH. 所以DE＞BC.　　8．如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，若，，那么与的大小关系是________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图 14　　　　　　　　　　　　　 图 15　　解析：如图15，作M到正三角形