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函数性质（周期性与对称性专题） 一、函数周期：对任意的，都有，则叫做函数的周期 例如：求的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数： 函数关于对称即偶函数： 函数关于直线 对称：或或 者 函数关于点对称： 1．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A．2； B．3； C．4； D．5 （ ） 2．设函数为奇函数，则（ ） A．0 B．1 C． D．5 3．已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( ) A、2005 B、2 C、1 D、0 4． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ） (A)； (B)； (C)； (D) 5．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于 A. B. C. D. 6.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =, f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ） A．–2 B．–1 C．0 D．1 7.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 高考资源网 A.0 B. C.1 D. 8.若，则＝ ．.定义域为R，且对任意都有，若则=_ 10．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 。 11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值. ①证明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式. 13．设是R上的偶函数． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数． 14．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０］； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记＝ｆ（２ｎ＋），求．，则；令，则 由得，所以 ，故选择A。 8.－2 9. 10.0 11.证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0, 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0，∴x2－x11－x2x1,∴01,由题意知f()0，即　f(x2)f(x1) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数∵f (x)是以为周期的周期函数，∴， 又∵是奇函数，∴，∴ ②当时，由题意可设， 由得，∴， ∴ ③∵是奇函数，∴， 又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设，而， ∴，∴当时，f (x)=-3x， 从而当时，，故时，f (x)= -3x，. ∴当时，有，∴0. 当时，，∴ ∴ 13. 解：依题意，对一切有，即 所以对一切成立. 由此得到即a2=1. 又因为a＞0，所以a=1. （II）证明一：设0＜x1＜x2， 由 即f（x）在（0，+∞）上是增函数． 证明二：由得 当时，有此时