南京理工大学硕士研究生矩阵分析和计算试题答案(2011.11.15).doc

2011年南京理工大学硕士研究生 《矩阵分析与计算》考试（A卷）参考答案 注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效 一、（12分）设矩阵，计算。 解：=0.8426 …………. 9 分 ， …………. 2 分 从而 …………. 1 分 二、（15分）求矩阵的初等因子及Jordan标准形。 解：初等因子 …………. 10 分 Jordan矩阵 …………. 5 分 三、（20分）已知 （1）求A的满秩分解；（2）求；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解；（4）求的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解． 解：（1） …………. 6 分 (2) …………. 6 分 (3) ,方程组无解； …………. 4 分 （4）极小范数最小二乘解为 …………. 4 分 四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明有三互异特征值。 解：取，则的三个行盖尔园隔离，因此矩阵有3个互异特征值. ………….10 分 五、（10分）用LU分解求解方程组 解: …………. 5 分 求解得到 …………. 5分 六、（10分）利用幂法计算矩阵 的按模最大特征值及对应特征向量。（取初始向量,结果保留4位有效数字） 解: , 特征向量 ………… 10分 七、（15分）已知（1）求； （2）求满足的解。 解: (1) , 设 ,有 ………… 5分 ………… 5分 ………… 5分 八、（8分）对于为对称正定矩阵，试述求解该线性方程组的极小化方法的基本算法思想，并比较最俗下降法与共轭梯度法之间的联系与区别。 解: 要点:变分原理 ………… 4分 区别: 方向不同,一个是负梯度方向,一个是A-共轭方向; ………… 4分