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压电有关理论和公式 弹性 应力 Tij = Tji，应力矩阵只有6个独立分量。 某个方向n上的应力： Tn = Tn 应变 正应变：线段的相对伸长或缩短称为正应变。 ，， 切应变：方向的变化。 ，， Sij = Sji，应变矩阵只有6个独立分量。 应变各分量带有位移梯度的意思，因此，应变矩阵又称为位移梯度矩阵。 下标缩写[4.p24] 由于应力，应变等的矩阵9个分量只有6个是独立的，可以讲3×3矩阵缩写为一个6个分量的列向量，坐标缩减方式为： 双下标 xx(11) yy(22) zz(33) yz,zy(23,32) zx,xz(31,13) xy,yx(12,21) 单下标 1 2 3 4 5 6 对于应变还要引入因子1/2，有：Syz=S4，Szx=S5，Sxy=S6，对于应力没有此因子。 胡克定律和弹性常数[4.p25] 应力与应变之间的线性关系可用胡克定律表示： T = cS，S=sT 其中，c为弹性刚度常数，s为弹性柔顺常数。 81个弹性常数分量中，只有21个独立参数，且有： 展开求和形式为： Tmn=cmnpqSpq，Smn=smnpqTpq (i,j,p,q = 1~3) 缩减下标形式： Ti=cijSj，Si=sijTj (i,j = 1~6) 其中： sij = smnpq i,j = 1~3 sij = 2 smnpq i or j = 4~6 sij = 4smnpq i,j = 4~6 对于应力没有此因子。 弹性刚度系数与弹性柔顺系数互为逆矩阵： s = c-1 坐标变换 坐标基矢量的表示 设变换前的坐标系o-xyz坐标基矢量为： 我们可以把此坐标系下的向量用一个列向量来表示，比如： ，， 向量在坐标系中的表示 对于笛卡尔坐标系（O-xyz）中的任意向量矢量R=OR，其在三个坐标轴上的分量为其可以用其在三个坐标轴的截距OA、OB、OC表示，记做R1、R2、R3，则： R = R1 + R2 + R3 =R1 i + R2 j +Rr3 k 其中，i、j、k分别是三个坐标轴方向的基矢量，其矩阵形式为： ， 或 设矢量R的长度为R，R与三个坐标轴的夹角分别为α1，β1，γ1，则矢量R在三个坐标轴上的投影（三个坐标分量，实际上也就是R点的坐标）分别为： R1 = Rx = R×cosα1，R2 = Ry = R×cosβ1，R3 = Rz = R×cosγ1 将矢量R表示为矩阵形式： 其中，a1 = cosα1，a2 = cosβ1，a3 = cosγ1，为矢量R与坐标轴夹角的余弦。 二维平面旋转坐标系 二维平面的直角坐标系O-xyz绕z轴旋转角度α之后，平面上P点在新旧坐标系中的左边满足： 矩阵形式为： 上式中的各个角度分别代表新坐标的x，y轴与原坐标的x，y轴的夹角。设α1，β1分别为新坐标系中x坐标轴基矢i与原坐标系中x，y坐标轴的夹角，α2，β2分别为新坐标系中y基矢与原坐标系x，y轴夹角，则有： 令： 有： 其中，矩阵A可以看做是一个新旧坐标之间的变换矩阵。空间中的一个点P在新坐标系中的坐标可以通过该变换矩阵与原坐标中的坐标计算得出。 二维平面旋转坐标系新坐标在原坐标系中的表示 对于二维平面中的笛卡尔坐标系O-xy，经过坐标旋转后，变成新的坐标系O-xy，根据上面的二维平面中的矢量坐标变换参数定义，x轴、y轴的基矢量、在原坐标系中坐标为： 从原坐标到新坐标的坐标变换矩阵即可看做由以上基矢量的行矩阵组成。 由于原坐标和新坐标是对称的，就是说，哪一个坐标都可以看做是原坐标。如果我们认为坐标系O-xy为原坐标系，O-xy为新坐标系，经过坐标旋转后，上式可以转化为 由于两个向量夹角与向量标注的前后顺序无关，（1，2）与（2，1）的夹角实际上是一个，因此，相应的系数也是一样的， 。于是，上式可以变为： 可以看出，矩阵A与B互为转置矩阵。以上的结论可以推广到三维坐标变换。 如果考虑左侧的列向量为新坐标系的基矢量，其在新坐标系中可以表示为 在原坐标系中的坐标为 新坐标在原坐标系中的表示 对于坐标变换A，设变换后的坐标系为O-xyz，在新坐标系中的基矢为。 设α1，β1，γ1分别为新坐标系中x坐标轴基矢i与原坐标系中x，y，z坐标轴的夹角，α2，β2，γ2分别为新坐标系中y基矢与原坐标系x，y，z轴夹角，α3，β3，γ3分别为新坐标系中z基矢与原坐标系x，y，z轴夹角； a11，a12，a13为新坐标系中x基矢与原坐标系x，y，z轴夹角的方向余弦；a21，a22，a23为新坐标系中y基矢与原坐标系x，y，z轴夹角的方向余弦；a31，a32，a33为新坐标系中z基矢与原坐标系x，y，z轴夹角的方向余弦； 即：