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大学物理习题和解答(刚体力学)
1? 如图所示,质量为的小球系在绳子的一端,绳穿过一铅直套管,使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度。绕管心作半径为rD的圆周运动,然后向下慢慢拉绳,使小球运动轨迹最后成为半径为r1的圆,求(1)小球距管心r1时速度大小。(2)由rD缩到r1过程中,力所作的功。
解? (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心,是有心力,以小球为研究对象,此力对的力矩在小球运动过程中始终为零,因此,在绳子缩短的过程中,小球对点的角动量守恒,即
小球在rD和r1位置时的角动量大小
(2)可见,小球的速率增大了,动能也增大了,由功能定理得力所作的功
2 如图所示,定滑轮半径为,可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动,转动惯量为,轮上绕有一轻绳,一端与劲度系数为的轻弹簧相连,另一端与质量为的物体相连。 物体置于倾角为的光滑斜面上。
开始时,弹簧处于自然长度,物体速度为零,然后释放物体沿斜面下滑,求物体下滑距离l时,物体速度的大小。
解? 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。在物体由静止下滑的过程中,只有重力、弹性力作功,其它外力和非保守内力作功的和为零,故系统的机械能守恒。
设物体下滑l时,速度为,此时滑轮的角速度为
则???????? ?? ??? (1
???????????? ????????????????? ?? ??? (2)
1)和式(2)可得
?
3 如右图所示,一长为l、质量为的杆可绕支点自由转动,一质量为m、速率为的子弹射入杆内距支点为处,使杆的偏转为。问子弹的初速率为多少?
解 把子弹和杆看作一个系统,系统所受的外力有重力和轴对细杆的约束力。在子弹射入杆的极短时间里,重力和约束力均通过轴,因此它们对轴的力矩均为零,系统的角动量应当守恒。于是有???????
??????????? (1)
子弹射入杆后,细杆在摆动过程中只有重力作功,故如以子弹、细杆和地球为一系统,则此系统机械能守恒。于是有
?????????? (2)
解式(1)和式(2),得
???
4 如图所示,一轻绳跨过两个质量为、半径均为的均匀圆盘状滑轮,绳的两端分别系着质量为和2m的重物,系统由静止释放,绳与两滑轮无相对滑动,求重物的加速度和两滑轮间绳的张力。
解: 图示受力图 ?
?? ?????????????
????????????? ???
??
?
及 ???????????
得?? ???????
???? 所以??????
512s内由1.2×103r.min-1均匀的增加到2.7×103r.min-1。(1)求曲轴转动的角加速度;(2)在此时间内,曲轴转了多少转?
6一燃气轮机在试车时,燃气作用在涡轮上的力矩为,涡轮的转动惯量为。当轮的转速由增大到时,所经历的时间为多少?
题6解1:在匀变速转动中,角加速度,由转动定律,可得飞轮所经历的时间
解2:飞轮在恒外力矩作用下,根据角动量定理,有
则
7.如图所示,质量的实心圆柱体,其半径为,可以绕其固定水平轴转动,阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上,其另一端系一个质量的物体。求:(1)物体由静止开始下降后的距离;(2)绳的张力
解:(1)分别作两物体的受力分析图。对实心圆柱体而言,由转动定律得
???????? (1
对悬挂物体而言,依据牛顿定律,有
???????? (2
且。又由角量与线量的关系,得
???????????
解上述方程组,可得物体下落的加速度
在t = 1.0 s时,B下落的距离为
(2)由式(2)可得绳中的张力为
8. 在光滑的水平面上有一木杆,其质量为,长为,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动,一质量为的子弹,以的速度射入杆端,其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中,试求所得到的角速度。
解:根据角动量守恒定理
式中为子弹绕轴的转动惯量,I2ω为子弹在陷入杆前的角动量,为子弹在此刻绕轴的角速度。为杆绕轴的转动惯量,是子弹陷入杆后它们一起绕轴的角速度。可得杆的角速度为
9.一质量为,长为的均匀细棒,支点在棒的上端点,开始时棒自由悬挂。以的力打击它的下端点,打击时间为。(1)若打击前棒是静止的,求打击时其角动量的变化;(2)棒的最大偏转角。
解:(1)在瞬间打击过程中,由刚体的角动量定理得
(1)
(2)在棒的转动过程中,取棒和地球为一系统,并选O处为重力势能零点。在转动过程中,系统的机械能守恒,即
(2)
由式(1)、(2)可得棒的偏转角度为
a
o
l
FT2
FT1
FT
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