大学物理第3章习题选解.doc

第三章 刚体的转动 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即，式中为比例常数。初始角速度为，求： （1）飞轮角速度随时间变化的关系； （2）角速度由减为所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。 解：（1）由， 分离变量 ，并由初始条件； 等式两边积分 （2）当角速度由减为时 由， 分离变量 ，并由初始条件，；等式两边积分 代入，得飞轮转过的角度 飞轮转过的转数 3-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为，法向加速度为，试证明，为任意时间内转过的角度。 解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为，则该点的 法向加速度为 切向加速度为 又，且 3-3 一根质量为，长为的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为，求杆转动时受摩擦力矩的大小。 解：设杆的线密度为。在杆上取一线元距转轴为，质量为。该线元在转动时受桌面摩擦力为 摩擦力方向与垂直，故线元受摩擦力矩的大小为 杆转动时受摩擦力矩的大小为 又 3-4 如图所示，一长为，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为和的小球，杆可绕通过其中心且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，释放后，杆绕轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩与系统的角加速度大小。解：两小球对水平转轴的转动惯量为 题3-4图 当杆转到水平位置时，小球和直杆所受合外 力矩为 题3-4图  由刚体的转动定律 3-5 如图所示，一轻绳绕于半径 的飞轮边缘，现以恒力拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。已知飞轮的转动惯量为，飞轮与轴承之间的摩擦不计。 题3-5图求飞轮的角加速度； 求绳子拉下时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能； 这动能和拉力所做的功是否相等？为什么？ 如以重量的物体挂在绳端，如图示，飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下时飞轮获得的动能。这动能和重力对物体所做的功是否相等？为什么？ 解：恒力作用于飞轮的力矩 由刚体转动第二定律，飞轮 的角加速度 绳子拉下时，飞轮转过的角度  题3-5图题3-5图设经过的时间为，则 飞轮的角速度 飞轮获得的动能 （3）拉力所做的功为 与飞轮获得的动能相等 （4）若在绳端挂重量的物体 则有 解得 绳子拉下时，飞轮的角速度为，由， 飞轮获得动能 重力对物体所做的功 物体所获动能 重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。 3-6 如图所示，两物体的质量分别为和，滑轮转动惯量为，半径为，则 若与桌面间滑动摩擦系数为，求 系统的加速度及绳中张力（设绳不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动）； 如与桌面为光滑接触，求系统的加 速度与绳中张力； 若滑轮的质量不计则结果又如何？ 题3-6图 解：（1）若与桌面滑动摩擦系数为，则有如下方程组 解得 （2）若与桌面光滑接触，则有 解得 （）若再忽略滑轮质量 解得 3-7 如图所示，轻弹簧、定滑轮和物体系统。已知弹簧倔强系数，定滑轮转动惯量，半径，开始物体静止，弹簧无伸长，求当质量为 的物体落下时它的速度大小。 题3-7图 解：设物体下落了时，其速度为，由机械能守恒定律 又 故有 代入 ，，，， 得 3-8 如图所示，一质量为的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为，半径为，转动惯量为， 滑轮轴光滑。求该物体由静止开始下落过 程中下落速度与时间的关系。 题3-8图解：方法由牛顿第二定律及刚体 的转动定律得 得 故物体的下落速度为 题3-8图 方法由机械能守恒定律 其中 解得 3-9 水分子的形状如图所示。从光谱分析知水分子对轴的转动惯量是，对轴的转动惯量是。试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离和夹角。假设各原子都可当质点处理。 解：水分子中两个氢分子对轴和轴的转动惯量分